知識點一：
二次根式的乘法法則：（，），即兩個二次根式相乘，根指數不變，只把被開方數相乘.
要點詮釋：
（1）在運用二次根式的乘法法則進行運算時，一定要注意：公式中a、b都必須是非負數；
（2）該法則可以推廣到多個二次根式相乘的運算：
（3）若二次根式相乘的結果能化簡必須化簡，如.
知識點二、
積的算術平方根的性質：（，），即積的算術平方根等於積中各因式的算術平方根的積.
要點詮釋：
（1）在這個性質中，a、b可以是數，也可以是代數式，無論是數，還是代數式，都必須滿足，才能用此式進行計算或化簡，如果不滿足這個條件，等式右邊就沒有意義，等式也就不能成立了；
（2） 二次根式的化簡關鍵是將被開方數分解因數，把含有形式的移到根號外面.
（3）作用：積的算術平方根的性質對二次根式化簡
（4）步驟：對被開方數分解因數或分解因式，結果寫成平方因式乘以非平方因式即：
利用積的算術平方根的性質（，）；
利用（乙個數的平方的算術平方根等於這個數的絕對值）即被開方數中的一些因式移到根號外；
（5）被開方數是整數或整式可用積的算術平方根的性質對二次根式化簡
知識點三、
二次根式的除法法則：（，），即兩個二次根式相除，根指數不變，把被開方數相除.
要點詮釋：
（1）在進行二次根式的除法運算時，對於公式中被開方數a、b的取值範圍應特別注意，其中，，因為b在分母上，故b不能為0.
(2)運用二次根式的除法法則，可將分母中的根號去掉，二次根式的運算結果要盡量化簡，最後結果中分母不能帶根號.
知識點四、
商的算術平方根的性質（，） ，即商的算術平方根等於被除式的算術平方**以除式的算術平方根.
要點詮釋：（1）利用：運用次性質也可以進行二次根式的化簡，運用時仍要注意符號問題. 對於公式中被開方數a、b的取值範圍應特別注意，其中，，因為b在分母上，故b不能為0.
2）步驟：
利用商的算術平方根的性質：（，）
分別對，利用積的算術平方根的性質化簡
分母不能有根號，如果分母有根號要分母有理化，即（）
3） 被開方數是分數或分式可用商的算術平方根的性質對二次根式化簡
知識點五：最簡二次根式
1.定義：當二次根式滿足以下兩條：
(1)被開方數不含分母；(2)被開方數中不含能開得盡方的因數或因式.
把符合這兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式.在二次根式的運算中，最後的結果必須化為最簡二次根式或有理式.
要點詮釋：
(1)最簡二次根式中被開方數不含分母；
(2)最簡二次根式被開方數中每乙個因數或因式的次數都小於根指數2，即每個因數或因式從次數只能為1次.
2.把二次根式化成最簡二次根式的一般步驟：
(1)把根號下的帶分數或絕對值大於1的數化成假分數，把絕對值小於1的小數化成分數；
(2)被開方數是多項式的要進行因式分解； (3)使被開方數不含分母；
(4)將被開方數中能開得盡方的因數或因式，用它們的算術平方根代替後移到根號外；
(5)化去分母中的根號6)約分.
3.把乙個二次根式化簡，應根據被開方數的不同形式，採取不同的變形方法.實際上只是做兩件事：一是化去被開方數中的分母或小數；二是使被開方數中不含能開得盡方的因數或因式.
知識點六、同類二次根式
1.定義：幾個二次根式化成最簡二次根式後，如果被開方數相同，那麼這幾個二次根式就叫做同類二次根式.
要點詮釋：
(1)判斷幾個二次根式是否是同類二次根式，必須先將二次根式化成最簡二次根式，再看被開方數是否相同；
(2)幾個二次根式是否是同類二次根式，只與被開方數及根指數有關，而與根號外的因式無關.
2.合併同類二次根式
合併同類二次根式，只把係數相加減，根指數和被開方數不變.(合併同類二次根式的方法與整式加減運算中的合併同類項類似)
要點詮釋：
(1)根號外面的因式就是這個根式的係數；
(2)二次根式的係數是帶分數的要變成假分數的形式；
(3)不是同類二次根式，不能合併
知識點七、二次根式的加減
二次根式的加減實質就是合併同類二次根式，即先把各個二次根式化成最簡二次根式，再把其中的同類二次根式進行合併.對於沒有合併的二次根式，仍要寫到結果中.
在進行二次根式的加減運算時，整式加減運算中的交換律、結合律及去括號、添括號法則仍然適用.
二次根式加減運算的步驟：
(1)將每個二次根式都化簡成為最簡二次根式；(2)判斷哪些二次根式是同類二次根式，把同類的二次根式結合為一組；
(3)合併同類二次根式.
知識點八、二次根式的混合運算
二次根式的混合運算是對二次根式的乘除及加減運算法則的綜合運用.
要點詮釋：
(1)二次根式的混合運算順序與實數中的運算順序一樣，先乘方，後乘除，最後算加減，有括號要先算括號裡面的；
(2)在實數運算和整式運算中的運算律和乘法公式在二次根式的運算中仍然適用；
(3)二次根式混合運算的結果應寫成最簡形式，這個形式應是最簡二次根式，或幾個非同類最簡二次式之和或差，或是有理式.
規律方法指導
二次根式的運算，主要研究二次根式的乘除和加減.
(1)二次根式的乘除，只需將被開方數進行乘除，其依據是：
；；(2)二次根式的加減類似於整式的加減，關鍵是合併同類二次根式.通常應先將二次根式化簡，再把同類二次根式合併.
二次根式運算的結果應盡可能化簡.
經典例題透析
型別一、二次根式的乘除運算
1、計算 (1)×； (2)×； (3)×； (4)×.
解：(12)×==；
(3)×==9； (4)×==.
2、計算：(1234).
思路點撥：直接利用便可直接得出答案．
解：(1)===22)==×2=2；
(3)===2； (4)===2.
3、化簡
(1)； (23)； (45).
思路點撥：利用直接化簡即可．
解：(1)=×=3×4=12； (2)=×=4×9=36；(3)=×=9×10=90；
(4)=×=××=3xy5)==×=3.
舉一反三
【變式1】判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正：
(1)； (2)×=4××=4×=4=8.
解：(1)不正確． 改正：=＝×=2×3=6；
(2)不正確改正：×=×===＝4.
4、化簡：
(1234).
思路點撥：直接利用就可以達到化簡之目的．
解：(1)=(2)= (3)=； (4)=.
舉一反三
【變式1】已知，且x為偶數，求(1+x)的值．
思路點撥：式子=，只有a≥0，b＞0時才能成立．
因此得到9-x≥0且x-6＞0，即6＜x≤9，又因為x為偶數，所以x=8．
解：由題意得，即
∴6＜x≤9，∵x為偶數，∴x=8
∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=
∴當x=8時，原式的值==6．
5、計算(1)·(-)÷(m＞0，n＞0)； (2)-3÷()× (a＞0).
解：(1)原式=-÷=-==-；
(2)原式=-2=-2=-a.
型別二、最簡二次根式的判別
6、下列各式中，哪些是最簡二次根式？哪些不是？請說明理由.
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).
思路點撥：判斷乙個二次根式是不是最簡二次根式，就看它是否滿足最簡二次根式的兩個條件：(1)被開方數不含分母；(2)被開方數中不含能開得盡方的因數或因式；不滿足其中任何一條的二次根式都不是最簡二次根式.
解：和都是最簡二次根式，其餘的都不是，理由如下：
的被開方數是小數，能寫成分數，含有分母；和的被開方數中都含有分母；
和的被開方數中分別含有能開得盡方的因數和因式.
總結昇華：對於最簡二次根式的判斷，一定要把握其實質，既要注意其中的「似是而非」，還要注意其中的「似非而是」，特別象這樣的式子，帶有很大的隱蔽性，更應格外小心.
7、把下列各式化成最簡二次根式.
(1)； (2345)
思路點撥：把被開方數分解因數或分解因式，再利用積的算術平方根的性質及進行化簡.
解：(1) ；(2) ；
(34) ；
(5) .
型別三、同類二次根式
8、如果兩個最簡二次根式和是同類二次根式，那麼a、b的值是( )
思路點撥：根據同類二次根式的識別方法，在最簡二次根式的前提下，被開方數相同.
解：根據題意，得
解之，得，故選d.
總結昇華：同類二次根式必須滿足兩個條件：(1)根指數是2；(2)被開方數相同；由此可以得到關於a、b的二元一次方程組，此類問題都可如此.
舉一反三【變式1】下列根式中，能夠與合併的是( ) a. b. c. d.
思路點撥：首先要把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式，然後比較它們的被開方數是否相同，如果相同，就能進行合併，反之，則不能合併.
解：合併，故選b.
總結昇華：同類二次根式的判斷，關鍵是能夠熟練準確地化二次根式為最簡二次根式.
【變式2】若最簡根式與根式是同類二次根式，求a、b的值．
思路點撥：同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式後，被開方數相同；
事實上，根式不是最簡二次根式，因此把化簡成
|b|·，才由同類二次根式的定義得3a-b=2，2a-b+6=4a+3b．
解：首先把根式化為最簡二次根式：
==|b|·
由題意得，∴，∴a=1，b=1.
型別四、二次根式的加減運算
9、計算(12)-
思路點撥：第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二次根式進行合併．
解：(1)+=2+3=(2+3)=5 (2)-=4-8=(4-8)=-4
總結昇華：一定要注意二次根式的加減要做到先化簡，再合併.
舉一反三 【變式1】計算
(1)3-9+32)(+)+(-)；
(3)； (4).
解：(1)3-9+3=12-3+6=(12-3+6)=15；
(24+2+2-=6+；
(3)(4)【變式2】已知≈2.236，求(-)-(+)的值．(結果精確到0.01)
解：原式=4---=≈×2.236≈0.45.
型別五、二次根式的混合運算
10、計算:
(12)(4-3)÷2.
思路點撥：二次根式仍然滿足整式的運算規律，所以直接可用整式的運算規律．
解：(13+2；
(2)(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-.
11、計算(1)(+6)(3-)； (2)(+)(-).（3）
思路點撥：二次根式的多項式乘以多項式運算在乘法公式運算中仍然成立．
解：(1)(+6)(3-)=3-()2+18-6=13-3；
(22-()2=10-7=3.
（3）略
型別六、化簡求值12、已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求(+y2)-(x2-5x)的值．
思路點撥：本題首先將已知等式進行變形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0，即x=，y=3．其次，根據二次根式的加減運算，先把各項化成最簡二次根式，再合併同類二次根式，最後代入求值．
解：4x2+y2-4x-6y+10=0
4x2-4x+1+y2-6y+9=0
∴(2x-1)2+(y-3)2=0
∴x=，y=3
原式=+y2-x2+5x
=2x+-x+5
=x+6
當x=，y=3時，原式=×+6=+3.
舉一反三
【變式1】先化簡，再求值．(6x+)-(4y+)，其中x=，y=27．
解：原式=6+3-(4+6)=(6+3-4-6)=-，
當x=，y=27時，原式=-=-.
【變式2】.已知x=+1，求（）÷的值．
型別七、二次根式的應用與**
13、乙個底面為30cm×30cm長方體玻璃容器中裝滿水，現將一部分水倒入乙個底面為正方形、高為10cm鐵桶中，當鐵桶裝滿水時，容器中的水面下降了20cm，鐵桶的底面邊長是多少厘公尺？
解：設底面正方形鐵桶的底面邊長為x，
則x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，
x=×=30．
答：鐵桶的底面邊長是30厘公尺.
14、如圖所示的rt△abc中，∠b=90°，點p從點b開始沿ba邊以1厘公尺/秒的速度向點a移動；同時，點q也從點b開始沿bc邊以2厘公尺/秒的速度向點c移動．問：幾秒後△pbq的面積為35平方厘公尺？pq的距離是多少厘公尺？
(結果用最簡二次根式表示)
15、**過程：觀察下列各式及其驗證過程．
(1)2=
驗證：2=×==
(2)3=
驗證：3=×====
同理可得：4
5，……
通過上述**你能猜測出： a=_______(a＞0)，並驗證你的結論．
解：a=
驗證：a=
===.
總結昇華：解答此類問題的特點是根據題目給出的條件，尋找內在聯絡和一般規律，然後猜想所求問題的結果，有利於提高綜合分析能力.
【變式1】對於題目「化簡求值：+，其中a=」，甲、乙兩個學生的解答不同．
甲的解答是：+=+=+－a=
乙的解答是：+=+=+a－=a=
誰的解答是錯誤的？為什麼？
跟蹤練習
21.1 二次根式：
1. 使式子有意義的條件是2. 當時，有意義。
3. 若有意義，則的取值範圍是4. 當時，是二次根式。
5. 在實數範圍內分解因式：。
6. 若，則的取值範圍是7. 已知，則的取值範圍是
8. 化簡：的結果是9. 當時，。
10. 把的根號外的因式移到根號內等於 。 11. 使等式成立的條件是 。
12. 若與互為相反數，則。
13. 在式子中，二次根式有（ ）
a. 2個 b. 3個 c. 4個 d. 5個
14. 下列各式一定是二次根式的是a. b. c. d.
15. 若，則等於（ ）a. b. c. d.
16. 若，則a. b. c. d.
17. 若，則化簡後為（ ）
ab. cd.
二次根式知識點及應用
注意 1 化簡時，一定要弄明白被開方數的底數a是正數還是負數，若是正數或0，則等於a本身，即 若a是負數，則等於a的相反數 a,即 2 中的a的取值範圍可以是任意實數，即不論a取何值，一定有意義 3 化簡時，先將它化成，再根據絕對值的意義來進行化簡。知識點六 與的異同點 1 不同點 與表示的意義是不...
二次根式知識點總結
基礎訓練 1 化簡 123 45 2.化簡 3.計算的結果是 2224 4.化簡 1 的結果是2 的結果是 34 08，黃岡 5 2 5 56 785 08，重慶 計算的結果是 a 6bc 2d 6 的倒數是 7.下列計算正確的是 a b c d 8.下列運算正確的是 a b c d 9 已知等邊三...
二次根式知識點備課
知識點一 二次根式的概念 1 二次根式 形如的式子叫做二次根式。注 在二次根式中，被開放數可以是數，也可以是單項式 多項式 分式等代數式，但必須注意 因為負數沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，等是二次根式，而，等都不是二次根式。2 最簡二次根式 必須同時滿足下列條件 1 開方數中不含開方開...