知識點一： 二次根式的概念
1、 二次根式
形如的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被開放數可以是數，也可以是單項式、多項式、分式等代數式，但必須注意：因為負數沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
2、最簡二次根式：必須同時滿足下列條件：
1 開方數中不含開方開的盡的因數或因式； ⑵被開方數中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3、同類二次根式：
二次根式化成最簡二次根式後，若被開方數相同，則這幾個二次根式就是同類二次根式。
知識點二：取值範圍
1. 二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當a≧0時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數大於或等於零即可。
2.二次根式無意義的條件：因負數沒有算術平方根，所以當a﹤0時，沒有意義。
知識點三：二次根式（）的非負性
（）表示a的算術平方根，也就是說，是乙個非負數，即。
注：因為二次根式表示a的算術平方根，而正數的算術平方根是正數，0的算術平方根是0，所以非負數（）的算術平方根是非負數，即，這個性質也就是非負數的算術平方根的性質，和絕對值、偶次方類似。這個性質在解答題目時應用較多，如若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0。
知識點四：二次根式的性質
文字語言敘述為：乙個非負數的算術平方根的平方等於這個非負數。
注：二次根式的性質公式是逆用平方根的定義得出的結論。上面的公式也可以反過來應用：若，則，如：，.
知識點五：二次根式的性質
（1）（2）
（3）（4）
（5）文字語言敘述為：乙個數的平方的算術平方根等於這個數的絕對值。
注：1、化簡時，一定要弄明白被開方數的底數a是正數還是負數，若是正數或0，則等於a本身，即；若a是負數，則等於a的相反數-a,即；
2、中的a的取值範圍可以是任意實數，即不論a取何值，一定有意義；
3、化簡時，先將它化成，再根據絕對值的意義來進行化簡。
知識點六：與的異同點
1、不同點：與表示的意義是不同的，表示乙個正數a的算術平方根的平方，而表示乙個實數a的平方的算術平方根；在中，而中a可以是正實數，0，負實數。但與都是非負數，即。
因而它的運算的結果是有差別的，，而
2、相同點：當被開方數都是非負數，即時，=；時，無意義，而.
知識點七：二次根式的運算
1、二次根式的加減法：
二次根式的加減，就是合併同類二次根式。
二次根式加減法運算的一般步驟：
（1）將每乙個二次根式化為最簡二次根式；
（2）找出其中的同類二次根式；
2、二次根式的乘法法則：兩個二次根式相乘，被開方數相乘，根指數不變。
即。3、二次根式的除法法則：兩個二次根式相除，被開方數相除，根指數不變。
即。知識點八：分母有理化
分母有理化：把分母中的根號化去的方法叫做分母有理化。
分母有理化的依據是分式的基本性質和二次根式的性質公式。
有理化因式：兩個含有二次根式的代數式相乘，如果它們的積不含有二次根式，就稱這兩個代數式互為有理化因式。
一般常見的互為有理化因式有如下幾種型別：
①與；②與；③與；
④與（其中都是最簡二次根式）
【典型例題】
例1、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？為什麼？
（123）
（456）
分析：判斷乙個式子是不是二次根式，一定要緊扣定義，看所給式子是否同時具備二次根式的兩個特徵：（1）帶二次根號「」；（2）被開方數不小於0。
解答：（1）∵，∴是二次根式；
（2）∵，∴不是二次根式；
（3）∵無論取什麼實數，都有，∴是二次根式；
（4）∵中根指數是3，∴不是二次根式；
（5）當，即時，是二次根式；當，即時，不是二次根式；
（6）∵當時，；當時，。
∴當時，是二次根式；當時，不是二次根式。
例2、是怎樣的實數時，下列各式有意義。
（12）
（34）
分析：要使上面各式有意義，必須使二次根號下的被開方數非負。
解答：（1）由，得。
∴當時，有意義。
（2）由，得，即。
當時，有意義。
（3）∵。
當時，，有意義；
當時，，無意義。
（4）∵，
∴為任意實數，都有意義。
例3、（1）計算；
（2）（3）設為的三邊，化簡
分析：根據，再由絕對值的意義，化去絕對值的符號。
解答： （1）；
（2）（3）因為為三角形三邊，所以，
例4、化簡：
（12）
（34）
分析：運用等式可把二次根式化簡。
解答：（12）
（34）。
例5、把下列各式中根號外的因式適當改變後移到根號內。
（12）
（34）
分析：根據算術平方根的定義，根號外的因式移到根號內，要將其平方，同時不能改變其性質符號。
解答：（1）
（2） （3） （4）
例6、計算：
（12）
（34）
（5）分析：根據二次根式的乘法法則，除法法則，合併同類二次根式等方法進行計算。
解答：（123）
（45）
【小結】
1、二次根式的意義；二次根式的簡單性質．
2、會利用積的算術平方根的性質，化簡二次根式；會進行簡單的二次根式的乘法運算．
3、會利用商的算術平方根的性質，化簡二次根式；會進行簡單的二次根式的除法運算．
4、最簡二次根式．
5、同類二次根式；能熟練地進行二次根式的加減法運算．
二次根式知識點總結
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