高中數學總複習資料
第一章集合
一定義集合是高中數學中最原始的不定義的概念,只給出描述性的說明。某些確定的且不同的物件集在一起就成為集合。組成集合的物件叫做元素。
二集合的抽象表示形式
用大寫字母a,b,c……表示集合;用小寫字母a,b,c……表示元素。
三元素與集合的關係
有屬於,不屬於關係兩種。元素a屬於集合a,記作;元素a不屬於集合a,記作。
四幾種集合的命名
有限集:含有有限個元素的集合;
無限集:含有無限個元素的集合;
空集:不包含任何元素的集合叫做空集,用表示;
自然數集:n;正整數集:n*或n+;整數集:z;
有理數集:q;實數集:r。
五集合的表示方法
(一) 列舉法:把元素一一枚舉在大括號內的表示方法,
例如:。
注意:凡是以列舉法形式出現的集合,往往考察元素的互異性。
(二) 描述法:有以下兩種描述方式
1.代號描述:【例】方程的所有解組成的集合,可表示為。x是集合中元素的代號,豎線也可以寫成冒號或者分號,豎線後面的式子的作用是描述集合中的元素符合的條件。
2.文字描述:將說明元素性質的一句話寫在大括號內。【例】;描述法表示的集合一旦出現,首先需要分析元素的意義,也就說要判斷元素到底是什麼。
(三) 韋恩圖法:用圖形表示集合定義了兩個集合之間的所有關係。
1.子集:如果屬於a的所有元素都屬於b,那麼a就叫做b的子集,記作:,如圖1-1所示圖1-1
子集有兩種極限情況:(1)當a成為空集時,a仍為b的子集;
2)當a和b相等時,a仍為b的子集。
真子集:如果所有屬於a的元素都屬於b,而且b中至少有乙個元素不屬於a,那麼a叫做b的真子集,記作或。
真子集也是子集,和子集的區別之處在於。對於同乙個集合,其真子集的個數比子集少乙個。
(1)求子集或真子集的個數,由n各元素組成的集合,
有2n個子集,有2n -1個真子集;
(2)空集的考查:凡是提到乙個集合是另乙個集合的子集,作為子集的集合首先可以是空集,的等價形式主要有:。
2.交集:由兩個集合的公共元素組成的集合,叫做這兩個集合的交集,記作,讀作a交b,如圖1-2所示。
圖1-2圖1-3圖1-4
3.並集:由兩個集合所有元素組成的集合,叫做這兩個集合的並集,記作,讀作a並b,如圖1-3所示。
4.補集:由所有不屬於a的元素組成的集合,叫做a在全集u中的補集,記作,讀作a補,如圖1-4所示。
德摩根公式 :
.(四) 區間表示法:數軸上的一段數組成的集合可以用區間表示,區間分為開區間和閉區間,開區間用小括號表示,是大於或小於的意思;閉區間用中括號表示,是大於等於或小於等於的意思;【例】(2,3),[2,3],(2,3],[2,3]...
第二章函式
一對映與函式的基本概念
(一) 對映
a集合中的每個元素按照某種對應法則在b集合中都能找到唯一的元素和它對應,這種對應關係叫做從a集合到b集合的對映。a中的元素叫做原象,b中的相應元素叫做象。
在a到b的對映中,從a中元素到b中元素的對應,可以多對一,不可以一對多。
圖2-1是對映圖2-2是一一對映圖2-3不是對映
(ⅰ)求對映(或一一對映)的個數,m個元素的集合到n個元素的集合的對映的個數是nm。
(ⅱ)判斷是對映或不是對映:可以多對一,不可以一對多。
(二) 函式的概念
定義域到值域的對映叫做函式。如圖2-4。高中階段,函式用f(x)來表示:
即x按照對應法則f對應的函式值為f(x).函式有解析式和影象兩種具體的表示形式。偶爾也用**表示函式。
函式三要素:定義域a:x取值範圍組成的集合。值域b:y取值範圍組成的集合。對應法則f:y與x的對應關係。有解析式和影象和對映三種表示形式
函式與普通對映的區別在於:
(1)兩個集合必須是數集;
(2)不能有剩餘的象,即每個函式值y都能找到相應的自變數x與其對應。
圖2-4
二定義域題型
(一) 具體函式:即有明確解析式的函式,定義域的考查有兩種形式
直接考查:主要考解不等式。利用:在中;在中,;在中,;在中,;在中,;在與中且,列不等式求解。
(二)抽象函式:只要對應法則相同,括號裡整體的取值範圍就完全相同。
三值域題型
(一) 常規函式求值域:畫影象,定區間,截段。
常規函式有:一次函式,二次函式,反比例函式,指數對數函式,三角函式,對號函式。
(二) 非常規函式求值域:想法設法變形成常規函式求值域。
解題步驟:(1)換元變形;
(2)求變形完的常規函式的自變數取值範圍;
(3)畫影象,定區間,截段。
(三) 分式函式求值域 :四種題型
(1) :則且。
(2):利用反表示法求值域。先反表示,再利用x的範圍解不等式求y的範圍。
(3):
,則且。
(4)求的值域,當時,用判別式法
求值域。,
值域(四) 不可變形的雜函式求值域: 利用函式的單調性畫出函式趨勢影象,定區間,截段。
判斷單調性的方法:選擇填空題首選復合函式法,其次求導數;大題首選求導數,其次用定義。詳情見單調性部分知識講解。
(五) 原函式反函式對應求值域:原函式的定義域等於反函式值域,原函式值域等於反函式定義域。
(六) 已知值域求係數:利用求值域的前五種方法寫求值域的過程,將求出的以字母形式表示的值域與已知值域對照求字母取值或範圍。
四函式運算法則
(一) 指數運算法則
運用指數運算法則,一般從右往左變形。
(二) 對數運算法則
同底公式:①
② ③④ 運用對數運算法則,同底的情況,一般從右往左變形。
不同底公式:①
②③ 運用對數運算法則,不同底的情況,先變成同底。
五函式解析式
(一) 換元法:如f(2x + 3)=x2 + 3x + 5,求f(3-7x),
(設2x + 3=3-7t)。
(二) 構造法:如,求f(x)。
(三) 待定係數法:通過影象求出y=asin(ωx +) + c中係數
(四) 遞推:需利用奇偶性、對稱性、週期性的定義式或表示式遞推。
(五) 求原函式的反函式:先反表示,再x、y互換。
六常規函式的影象
常規函式影象主要有
指數函式:逆時針旋轉對數函式:逆時針旋轉,
底數越來越大底數越來越小
冪函式:逆時針旋轉,指數越來越大。其他象限圖象看函式奇偶性確定。
七函式的單調性
(一) 定義:在給定區間範圍內,如果x越大y越大,那麼原函式為增函式;如果x越大y越小,那麼原函式為減函式。
(二) 單調性題型:
1.求單調性區間:先找到最基本函式單元的單調區間,用復合函式法判斷函式在這個區間的單調性,從而確定單調區間。
復合函式法: :
當0 < x <1時,x↑,x2↑,- x2↓,↓,↑,↓
2.判斷單調性
(1).求導函式:為增函式,為減函式
(2).利用定義:設x1(3).原反函式:具有相同的單調性,乙個函式具有反函式的前提條件是它具有嚴格的單調性。
3.利用函式單調性:
(1).求值域:利用單調性畫出影象趨勢,定區間,截斷。
(2).比較函式值的大小:畫圖看
(3).解不等式:利用以下基本結論列不等式,解不等式。
增函式或
減函式或
(4).求係數:利用常規函式單調性結論,根據單調性求係數。
八函式的奇偶性
(一)定義:如果,則為偶函式;如果,則為奇函式。這兩個式子有意義的前提條件是:定義域關於原點對稱。
(二)奇偶性題型:
1.判斷奇偶性 :
(1).先看定義域是否關於原點對稱,再比較f(x)與f(-x)正負
(2).看影象對稱性:關於y軸對稱為偶,關於原點對稱為奇
(3).原、反函式:奇函式的反函式是奇函式,偶函式沒有反函式。
2.利用奇偶性:
(1).利用公式:f(-x)=- f(x),f(-x)= f(x),計算或求解析式
(2).利用復合函式奇偶性結論:
f(x)=f(x)g(x),奇奇得偶,偶偶得偶,奇偶得奇
f(x)=f(x)+g(x),當f(x)為奇,g(x)為偶時,代入-x得:
f(-x)=-f(x)+g(x),兩式相加可以消去f(x),兩式相減可以消去g(x),從而解決問題。
3.奇偶函式影象的對稱性
偶函式:關於y軸對稱若,
則f(x)關於對稱
奇函式:關於原點對稱若,
則f(x)關於點(,m) 對稱
九函式的週期性
(一) 定義:
若,則為週期函式,為週期
(二) 週期性考點:
1.求週期:
(1).利用f(x)=f(t + x)列出方程解出t =
(2).把所給函式化為y=asin(ωx +ф) + c標準形式,直接讀出週期
2.利用週期性:利用公式f(x)=f(t + x)
(1).求解析式
(2).求函式值
十函式影象的對稱性
(一) 乙個圖關於點對稱:
(ⅰ)奇函式關於原點對稱
(ⅱ)若f(a+x) + f(b-x)=2m,則f(x)關於(,m)對稱
(二) 乙個圖關於直線對稱:
(ⅰ)偶函式關於軸對稱
(ⅱ),則關於對稱
(三) 兩個圖關於點對稱
(ⅰ)關於原點對稱的函式:x→-x,y→-y,
即-y=f(-x)
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