空間幾何：
1. (文)已知a、b、c為三條不重合的直線，下面有三個結論：①若a⊥b，a⊥c，則b∥c；②若a⊥b，a⊥c則b⊥c；③若a∥b，b⊥c，則a⊥c.
其中正確的個數為( )
a．0個b．1個
c．2個 d．3個
[答案] b
[解析] b、c平面α，a⊥α滿足①②的條件，當b與c相交但不垂直時，①、②錯；③正確．
(理)(2011～2012·濱州市沾化一中期末)下列命題中不正確的是( )
a．若aα，bα，l∩α＝a，l∩b＝b，則lα
b．若a∥c，b∥c，則a∥b
c．若aα，bα，a∥b，則a∥α
d．若一直線上有兩點在已知平面外，則直線上所有點在平面外
[答案] d
[解析] 當直線與平面相交時，直線與平面有且僅有乙個公共點，除公共點外的其它點都在平面外．
2. (文)如圖，水平放置的三稜柱的側稜長和底邊長均為2，且側稜aa1⊥平面a1b1c1，正檢視是正方形，俯檢視是正三角形，該三稜柱的側檢視的面積為( )
a．2 b.
c．2 d．4
[答案] a
[解析] 由條件知，三稜柱的側檢視是乙個矩形，矩形的一邊長為稜柱的高2，另一邊長是為△a1b1c1邊a1b1上的高，∴其側檢視面積為2.
(理)下圖是乙個幾何體的三檢視(側檢視中的弧線是半圓)，則該幾何體的表面積是( )
a．20＋3π b．24＋3π
c．20＋4π d．24＋4π
[答案] a
[解析] 由三檢視知，該幾何體是乙個組合體，上部是乙個正四稜柱，底面正方形邊長為2，高為2，下部是半個圓柱，圓柱的底半徑為1，高為2，故其表面積s＝5×22＋π＋×2π×1×2＝20＋3π.
3. 某幾何體的三檢視如圖所示，則該幾何體的體積為( )
a. b.
c. d.
[答案] a
[解析] 由三檢視知，該幾何體是乙個橫放的稜柱，稜柱底面是等腰直角三角形，直角邊長為1，高為1，故其體積v＝(×1×1)×1＝.
(理)下圖是一幾何體的三檢視(單位：cm)，則這個幾何體的體積為( )
a．1cm3 b．3cm3
c．2cm3 d．6cm3
[答案] b
[解析] 由三檢視知，該幾何體是乙個橫放的稜柱，稜柱的高為3，稜柱的底面是乙個等腰三角形，其底為2，高為1，∴體積v＝(×2×1)×3＝3(cm3)．
4. 乙個正方體的展開圖如圖所示，a、b、c、d為原正方體的頂點，則在原來的正方體中( )
a．ab∥cd b．ab與cd相交
c．ab⊥cd d．ab與cd所成的角為60°
[答案] d
[解析] 正方體的直觀圖如圖，顯然ab與cd異面，排除a、b，cd∥be，△abe為正三角形，∴ab與cd所成的角為60°.
5. 如圖，乙個空間幾何體的主檢視、左檢視都是周長為4，乙個內角為60°的菱形，俯檢視是圓及一點，那麼這個幾何體的表面積為( )
a. b．π
c. d．2π
[答案] b
[解析] 由三檢視知，該幾何體是兩個同底的圓錐構成的組合體．圓錐的母線長為1，底半徑為，
∴表面積s＝2×(π××1)＝π.
6. (文)如圖，乙個空間幾何體的正檢視、側檢視、俯檢視為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長為2，那麼這個幾何體的體積為( )
a. b.
c．4 d．2
[答案] b
[解析] 由三檢視知，該幾何體是乙個三稜錐，底面是直角邊長為2的等腰直角三角形，高為2，故其體積v＝×(×2×2)×2＝.
(理)如圖，某幾何體的正檢視、側檢視和俯檢視分別是等邊三角形、等腰三角形和菱形，則該幾何體的體積為( )
a．2 b．4
c．2 d．4
[答案] c
[解析] 由三檢視知，該幾何體是乙個四稜錐，底面為菱形，邊長為2，一條對角線長為2，故其另一條對角線長為2，因此正檢視是邊長為2的正三角形，
∴錐體的高為×2＝3，
∴體積v＝×(2×2sin60°)×3＝2.
7. (文)若某幾何體的三檢視(單位：m)如圖所示，則此幾何體的表面積是( )
a．3π＋16＋12m2 b．28＋12m2
c．44m2 d．40＋12m2
[答案] b
[解析] 由三檢視知，該幾何體是乙個組合體，上部是乙個底面是邊長為2的正方形，高為1的正四稜柱，下部是乙個正四稜臺，下底是邊長為4的正方形，上底是邊長為2的正方形，稜臺的高為1，∴斜高為，
∴其表面積為s＝22＋4×(2×1)＋42＋4×[×(2＋4)×]＝28＋12m2.
(理)在空間四邊形abcd中，·＋·＋·的值為( )
a．0 b.
c．1 d．無法確定
[答案] a
[解析] 如圖，·＋·＋·
0.9．(2011～2012·延邊州質檢)斜二測畫法中，邊長為a的正方形的直觀圖的面積為( )
a．a2 b. a2
c. a2 d. a2
[答案] d
[解析] s＝a·(·sin45°)＝a2，故選d.
8. (文)已知直線m、n和平面α、β，若α⊥β，α∩β＝m，nα，要使n⊥β，則應增加的條件是( )
a．m∥n b．n⊥m
c．n∥α d．n⊥α
[答案] b
[解析] 根據面面垂直的性質定理知，需增加條件n⊥m.
(理)已知直線m，n和平面α，則m∥n的乙個必要非充分條件是( )
a．m∥α且n∥α b．m⊥α且n∥α
c．m∥α且nα d．m，n與α成等角
[答案] d
[解析] m∥n m∥α且n∥α，m∥α且n∥αm∥n，排除a；m⊥α且n∥αm⊥n，排除b；m∥α且nαm∥n，m∥n m∥α且nα，排除c，選d.
[點評] m、n與α成等角時，未必有m∥n，如圖．m∥n時，m、n與α一定成等角．
9. 如圖所示，在四邊形abcd中，ad∥bc，ad＝ab，∠bcd＝45°，∠bad＝90°，將△abd沿bd折起，使平面abd⊥平面bcd，構成三稜錐a－bcd，則在三稜錐a－bcd中，下列命題正確的是( )
a．平面abd⊥平面abc
b．平面adc⊥平面bdc
c．平面abc⊥平面bdc
d．平面adc⊥平面abc
[答案] d
[解析] 在平面圖形中cd⊥bd，折起後仍有cd⊥bd，由於平面abd⊥平面bcd，故cd⊥平面abd，cd⊥ab.又ab⊥ad，故ab⊥平面adc.所以平面abc⊥平面adc.
10. (文)某幾何體的三檢視如圖所示，單位(cm)，則其外接球的表面積與此幾何體表面積之比值為( )
a. b．2
c. d.
[答案] c
[解析] 由三檢視知，該幾何體是乙個圓柱，底半徑為1，高為4，
∴其表面積s1＝2π×12＋2π×1×4＝10πcm2.
其外接球的半徑r＝＝，
∴外接球表面積s2＝4π()2＝12π，
∴＝＝.
(理)球o的球面上有四點s、a、b、c，其中o、a、b、c四點共面，△abc是邊長為2的正三角形，平面sab⊥平面abc，則稜錐s－abc的體積的最大值為( )
a．1 b.
c. d.
[答案] d
[解析] ∵o、a、b、c四點共面，∴△abc的外接圓為球大圓，∵△abc邊長為2，∴球半徑oa＝×(×2)＝，設ab的中點為e，則oe＝×(×2)＝，稜錐s－abc的底面積s＝×22＝為定值，欲使其體積最大，應有s到平面abc的距離取最大值，又平面sab⊥平面abc，∴s在平面abc上的射影落在直線ab上，又so＝為定值，∴s到平面abc的距離的最大值為＝1，∴v＝××1＝.
11. 已知體積為的正三稜柱(底面是正三角形且側稜垂直底面)的三檢視如圖所示，則此三稜柱的高為( )
ab.c．1 d.
[答案] c
[解析] 由側檢視知，此三稜柱底面正三角形一邊上的高為，∴邊長為2，故體積v＝(×2×)·h＝，∴h＝1.
12. 已知四稜錐s－abcd的底面是中心為o的正方形，且so⊥底面abcd，sa＝2，那麼當該稜錐的體積最大時，它的高為( )
a．1b.
c．2 d．3
[答案] c
[解析] 設四稜錐的高為h，底面正方形的邊長為a，則(a)2＝12－h2，∴a2＝2(12－h2)，
∴v＝a2h＝(12－h2)·h＝8h－h3，
v′＝8－2h2，令v′＝0得h＝2，故選c.
13. 下圖是乙個幾何體的三檢視及其尺寸(單位：cm)，則該幾何體的表面積和體積分別為( )
a．24πcm2,12πcm3 b．15πcm2,12πcm3
c．24πcm2,36πcm3 d．15πcm2,36πcm3
[答案] a
[解析] 由三檢視知，該幾何體是底面直徑為6，母線長為5的圓錐，∴底半徑r＝3，高h＝4.
∴s表＝π·32＋π×3×5＝24πcm2，
體積v＝π×32×4＝12πcm3.
14. 正三稜錐s－abc的底面邊長為a，側稜長為b，經過稜sa和sb的中點d、e作一平行cs的截面，則截面積
[答案]
[解析] 如圖，sc∥平面defg，∴sc∥ef，
又de∥ab，∵d、e均為中點，
∴de＝ab＝a，ef＝sc＝b，
在正三稜錐中易證ab⊥sc，∴de⊥ef，
∴截面積s＝de·ef＝.
15. 已知直線l⊥平面α，直線m平面β，給出下列命題：①α∥βl⊥m；②α⊥βl∥m；③l∥mα⊥β；④l⊥mα∥β.其中正確命題的序號是________．
[答案] ①③
l⊥m，故①真；
l∥m，故②假；
α⊥β，故③真；
α∥β，故④假．
16. 設m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，給出下列四個命題：
①若m⊥n，m⊥α，nα，則n∥α；
②若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則n⊥α或n⊥β；
③若m⊥β，α⊥β，則m∥α；
④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥β.
其中真命題的序號是________．
[答案] ①④
n∥α，故①真；
正方體abcd－a1b1c1d1中，平面abcd與add1a1分別取作平面α，β，其交線ad為m，取直線ab1為n，則滿足n⊥m，知②錯；m⊥β，α⊥β時，可能m∥α，也可能mα，知③錯；
α⊥β，故④真．
17. 乙個稜錐的三檢視如圖所示，正檢視和側檢視都是腰長為1的等腰直角三角形，俯檢視是邊長為1的正方形，則該稜錐的表面積是________．
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