經典例題透析
型別一：求函式的平均變化率
例1、求在到之間的平均變化率，並求，時平均變化率的值.
思路點撥: 求函式的平均變化率，要緊扣定義式進行操作.
解析：當變數從變到時，函式的平均變化率為
當，時，平均變化率的值為：.
總結昇華：解答本題的關鍵是熟練掌握平均變化率的概念，只要求出平均變化率的表示式，其他就迎刃而解.
舉一反三：
【變式1】求函式y=5x2+6在區間[2，2+]內的平均變化率。
【答案】，
所以平均變化率為。
【變式2】已知函式，分別計算在下列區間上的平均變化率：
（1）[1，3]；
（2）[1，2]；
（3）[1，1.1]；
（4）[1，1.001].
【答案】（1）4；（2）3；（3）2.1；（4）2.001.
【變式3】自由落體運動的運動方程為，計算t從3s到3.1s，3.01s，3.001s各段內的平均速度（位移s的單位為m）。
【答案】要求平均速度，就是求的值，為此需求出、。
設在[3，3.1]內的平均速度為v1，則，。
所以。同理。
。【變式4】過曲線上兩點和作曲線的割線，求出當時割線的斜率.
【答案】3.31
當時型別二：利用定義求導數
例2、用導數的定義，求函式在x=1處的導數。
解析：∵∴∴。
總結昇華：利用導數的定義求導數的步驟：
第一步求函式的增量；第二步求平均變化率；第三步取極限得導數。
舉一反三：
【變式1】已知函式
（1）求函式在x=4處的導數.
（2）求曲線上一點處的切線方程。
【答案】
（1）（2）由導數的幾何意義知，曲線在點處的切線斜率為，
∴所求切線的斜率為。
∴所求切線方程為，整理得5x+16y+8=0。
【變式2】利用導數的定義求下列函式的導數：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）。
【答案】
（1），
∴，∴。
（2），
∴，∴。
（3），
∴，∴。
（4），
∴，∴。
例3、求曲線y=x3+2x在x=1處的切線方程.
思路點撥：從函式在一點處的導數定義可求得函式y=x3+2x在x=1處的導數值，再由導數的幾何意義，得所求切線的斜率，將x=1代入函式可得切點座標，從而建立切線方程.
解析：設.
由f(1)=3，故切點為（1，3），
切線方程為y―3=5(x―1)，即y=5x―2.
總結昇華: 求函式影象上點處的切線方程的求解步驟：
1 求出導函式在處的導數（即過點的切線的斜率），
2 用點斜式寫出切線方程，再化簡整理。
舉一反三：
【變式】在曲線y=x2上過哪一點的切線：
（1）平行於直線y=4x―5；
（2）垂直於直線2x―6y+5=0；
（3）與x軸成135°的傾斜角。
【答案】，
設所求切點座標為p（x0，y0），則切線斜率為k=2x0
（1）因為切線與直線y=4x―5平行，所以2x0=4，x0=2，y0=4，
即p（2，4）。
（2）因為切線與直線2x―6y+5=0垂直，所以，得，，
即。（3）因為切線與x軸成135°的傾斜角，所以其斜率為―1。即2x0=―1，得，，
即。例4．已知函式可導，若，，求
解析： （）
（令t=x2，x→1，t→1）
舉一反三：
【變式】已知函式可導，若，，求
【答案】
型別三：利用公式及運算法則求導數
例5．求下列函式的導數：
（12）
（3）； （4）y=2x3―3x2+5x＋4
解析：（1）.
（2）.
（3）∵，∴.
（4）總結昇華：
①熟練掌握導數基本公式，仔細觀察和分析各函式的結構規律，選擇基本函式求導公式進行求導；
②不具備求導法則條件的，一般要遵循先化簡，再求導的原則，適當進行恒等變形，步步為營，使解決問題水到渠成.
舉一反三：
【變式】求下列函式的導數：
（1）；
（2）（3）y=6x3―4x2+9x―6
【答案】
（1）.
（2）∴.
（3）例6．求下列各函式的導函式
（1）；（2）y=x2sinx
（３）yy=
解析：（1）法一：去掉括號後求導.
法二：利用兩個函式乘積的求導法則
=2x(2x－3)+(x2+1)×2
=6x2－6x+2
（2）y′=（x2）′sinx＋x2（sinx）′=2xsinx＋x2cosx
（３）=
（4）=
=舉一反三：
【變式1】函式在處的導數等於( )
a．1 b．2 c．3 d．4
【答案】d
法一：∴.法二：∵∴∴.
【變式2】下列函式的導數
（1）； （2）
【答案】
（1）法一：
法二：（2）∴
【變式3】求下列函式的導數.
（1）； （2）；（3）.
【答案】
（1），∴.
（2），
∴.（3）∵，
∴型別四：復合函式的求導
例7．求下列函式導數.
（1）； （2）；
（34）.
思路點撥:求復合函式的導數首先必須弄清函式是怎樣復合而成的，然後再按復合函式的求導法則求導.
解析：（1），.
.（2），
∴（3），.
∴（4），，
∴ .
總結昇華：
①復合函式的求導，一定要抓住「中間變數」這一關鍵環節，然後應用法則，由外向裡一層層求導，注意不要漏層。熟練以後，可以擺脫引入中間變數的字母，只要心中記住就行，這樣可以使書寫簡單；
②求復合函式的導數的方法步驟：
（1）分清復合函式的復合關係，選好中間變數；
（2）運用復合函式求導法則求復合函式的導數，注意分清每次是哪個變數對哪個變數求導數；
（3）根據基本函式的導數公式及導數的運算法則求出各函式的導數，並把中間變數換成自變數的函式.
舉一反三：
【變式1】求下列函式的導數：
(12）
（3）y=ln（x＋）； （4）
【答案】
(1)令, ,
（2）令
（3）=＝
（4）型別五：求曲線的切線方程
例8．求曲線y=x3+2x在x=1處的切線方程.
解析：，
x=1時，y=3，
∴切點為（1，3），切線斜率為5
切線方程為y―3=5(x―1)，即y=5x―2.
總結昇華: 求函式影象上點處的切線方程的求解步驟：
3 求出函式的導函式
4 求出導函式在處的導數（即過點的切線的斜率），
5 用點斜式寫出切線方程，再化簡整理。
舉一反三：
【變式1】求曲線在點處的切線的斜率，並寫出切線方程.
解析：∵
∴切線的斜率.
∴切線方程為，即.
【變式2】已知，是曲線上的兩點，則與直線平行的曲線的切線方程是________.
【答案】的導數為.
設切點，則.
∵的斜率，又切線平行於，
∴，∴，∴切點，
∴切線方程為，即.
【變式3】已知曲線.
（1）求曲線上橫座標為1的點處的切線的方程；
（2）第（1）小題中的切線與曲線是否還有其他的公共點？
【答案】
（1）將代入曲線的方程得，∴切點.
∵，∴.
∴過點的切線方程為，即.
（2）由可得，解得或.
從而求得公共點為，或.
∴切線與曲線的公共點除了切點外，還有另外的點.
例9．已知直線為曲線在點（1，0）處的切線，為該曲線的另一條切線，且.
（1）求直線的方程；
（2）求由直線、和軸所圍成的三角形的面積.
解析：（1），
直線的方程為.
設直線過曲線上的點，
則的方程為，即.
因為，則有，.
所以直線的方程為.
（2）解方程組得
所以直線和的交點座標為.
、與軸交點的座標分別為（1，0）、，
所以所求三角形的面積為.
舉一反三：
【變式1】如果曲線的某一切線與直線平行，求切點座標與切線方程
【答案】
設切點座標為
∴切線在點的斜率為
切線與直線平行， 斜率為4
∴，∴或
∴切點為（1，-8）或（-1，-12）
切線方程為或
即或【變式2】曲線在點（1，1）處的切線與軸、直線所圍成的三角形的面積為________.
【答案】由題意，切線的斜率為，
∴切線方程為，
與軸交點為，直線的交點為（2，4），
∴.【變式3】曲線在（0，1）處的切線與的距離為，求的方程.
【答案】由題意知，
∴曲線在（0，1）處的切線的斜率
∴該切線方程為
設的方程為，
則，解得，或.
當時，的方程為；
當時，的方程為
綜上可知，的方程為或.
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