一元二次方程
1. 一元二次方程的定義及一般形式：
（1） 只含有乙個未知數(一元)，並且未知數的最高次數2(二次)的整式方程，叫作一元二次方程。
注意：三個要素只含有乙個未知數；
所含未知數的最高次數是2；
是整式方程。
（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)。其中a為二次項係數，b為一次項係數，c為常數項。
注意：確定一元二次方程的二次項、一次項、常數項時，必須先化為一般形式，並且包括前面的符號。
2. 一元二次方程的解法
(1) 直接開平方法：
【依據：平方根的定義】
①形如ax2=c(ac＞0)，開方得：x=±
②形如(mx±n)2=k(k≥0)的方程可以用直接開平方法解，
開方：mx±n=±
注意：若k<0，方程無解
(2) 因式分解法：
【依據：若a·b=0，則a=0或b=0】
適應的方程：①缺一次項bx（b=0）或常數項c（c=0）；
②整理為一般形式後，左邊容易用十字相乘法分解因式
③方程中可以直接提取多項式公因式或可以運用公式進行因式分解。
一般步驟如下：
將方程右邊得各項移到方程左邊，使方程右邊為0；
將方程左邊分解為兩個一次因式相乘的形式；
令每個因式分別為零，得到兩個一元一次方程；
解這兩個一元一次方程，他們的解就是原方程的解。
(3)配方法:
【依據：完全平方公式】
適合：①二次項係數為1，一次項係數為偶數；
②化為一般形式後，一次項係數是二次項係數的偶數倍。
用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一般步驟
移項：使方程左邊為二次項與一次項，右邊為常數項；
二次項係數化為1：方程兩邊都除以二次項係數；
配方：方程兩邊都加上一次項係數一半的平方，把方程化為(x±n)2=k (k≥0)的形式；
用直接開平方法解變形後的方程。
注意：當k＜0時，方程無解
(4)公式法：
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 根的判別式：⊿=b2–4ac
x= ( b2–4ac ≥0)
⊿＞0←→方程有兩個不相等的實數根;
⊿=0←→方程有兩個相等的實數根；
⊿＜0←→方程沒有實數根。
注意：⊿≥0←→方程有兩個實數根。
3. 韋達定理(根與係數關係)
我們將一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0之後，設它的兩個根是x1、x2，則x1、x2與方程的係數a，b，c之間有如下關係：
x1+x2=–； x1·x2=
特別地：x2+px+q＝0的兩個根是x1、x2，則：
x1+x2=–p； x1·x2=q
4.一元二次方程的應用
列一元二次方程解應用題，其步驟和二元一次方程組解應用題類似
「審」，弄清楚已知量，未知量以及他們之間的等量關係；
「設」指設元，即設未知數，可分為直接設元和間接設元；
「列」指列方程，找出題目中的等量關係，再根據這個關係列出含有未知數的等式，即方程。
「解」就是求出說列方程的解；
「答」就是書寫答案，檢驗得出的方程解，捨去不符合實際意義的方程。
注意：一元二次方程考點：定義的考察；解方程及一元二次方程的應用。
另外：1. 以m與n為根的一元二次方程是：
① (x–m)(x–n)=0
② x2–(m+n)x+m·n=0
2.若一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個實數根分別為x1、x2，則二次三項式ax2+bx+c分解因式為：
ax2+bx+c=a(x–x1)·(x–x2)
5．典型例題
1、下列方程中，是一元二次方程的是：( )
a、x2+3x +y=0 ； b、 x+y+1=0 ；
c 、=； d、x2++5=0
2、關於x的方程(a2+a－2)x2+ax+b=0是一元二次方程的條件是( )
a、a≠0b、a≠－2；
c、a≠－2且 a≠1； d、a≠1
3、當m 時，關於x的方程(m－1)x+1+mx=0是一元二次方程.
4、一元二次方程x(x－3) = 4的一般形式是一次項係數為 ，常數項是 。
5、方程x2= 225的根是 ,方程3 x2－5 x=0的根是 。
6、(x2－14x +___) =(x－__)2。
7、用配方法解方程x2+8x+9=0時，應將方程變形為( )
a.(x+4)2=7b.(x+4)2=－9
c.(x+4)2=25d.(x+4)2=－7
8、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有乙個根為1，則a+b +c= 。一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有乙個根為–1，則a-b +c= 。
9、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)兩個根互為相反數的條件是有乙個根為0的條件是
10、關於x的一元二次方程mx2－2x +1= 0有兩個相等實數根，則m
11、已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的兩個根，那麼x1+x2= , x1·x2
12、若三角形其中一邊為5cm，另兩邊長是x2–7x+12=0兩根，則三角形面積為
13、(2010蘇州)若一元二次方程x2－(a+2)x+2a=0的兩個實數根分別是3、b，則a+b= ．
14、若要使2x2－3x－5的值等於4－6x的值,則x應為____。
15、關於x的方程2x(kx－4)－x2+6=0沒有實數根，則k的最小整數值是_____；
1、用適當的方法接下列方程。
(1)、(x+3)(x－1) = 52)、(3x－2)2=(3x－2)
(3)、(2x－1)2 =3(2x + 1) (4)、 3x2－10x +6=0
2、若兩個連續偶數的積是288，求這兩個偶數。
3. 已知關於x的方程2x2+5x+p–3=0的乙個根是–4，求方程的另乙個根和p的值．
4、從一塊長80cm，寬60cm的長方形鐵片中間截去乙個小長方形，使剩下的長方形四周寬度一樣，並且小長方形的面積是原來鐵片面積的一半，求這個寬度？
5.小明將1000元存入銀行，定期一年，到期後他取出600元後，將剩下部分(包括利息)繼續存入銀行，定期還是一年，到期後全部取出，正好是550元，請問定期一年的利率是多少？
6. 證明：當a、b、c為實數，且b=a+c時，關於x的一元二次方程ax2+bx+c=0總有實數根。
分析：要證明一元二次方程有實數根，只需證明它的判別式大於或等於零。
證明∵⊿=b2－4ac，又b=a+c，a≠0。
∴ ⊿=(a+c)2－4ac=(a－c)2。
∵ (a－c)2≥0
∴ ⊿=b2－4ac≥0。
∴ 關於x的一元二次方程ax2+bx+c=0總有實數根。
7.王明同學將100元第一次按一年定期儲蓄存入「少兒銀行」，到期後將本金和利息取出，並將其中的50元捐給「希望工程」，剩餘的又全部按一年定期存入，這時存款的年利率已下調到第一次存款時年利率的一半，這樣到期後可得本金利息共63元，求第一次存款時的年利率．
解：設第一次存款時的年利率為x，
根據題意，得[100(1＋x)－50](1＋x)＝63．
整理，得50x2＋125x－13＝0．
解得x1＝，x2＝－．
∵x2＝－不合題意，
∴x＝＝10％．
答：第一次存款時的年利率為10％．
說明：要理解「本金」「利息」「利率」「本息和」等有關的概念，再找清問題之間的相等關係．
一元二次方程知識點總結
根的判別式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用 來表示，即 i當 0時，一元二次方程有2個不相等的實數根 ii當 0時，一元二次方程有2個相同的實數根 iii當 0時，一元二次方程沒有實數根 四 一元二次方程根與係數的關係 如果方程的兩個實數根是，那麼，也就是說，對於任何乙個有實數...
一元二次方程知識點總結
一 一元二次方程的根 2 一元二次方程根與係數的關係 4 根與係數的關係的應用 驗根 不解方程，利用根與係數的關係可以檢驗兩個數是不是一元二次方程的兩根 求根及未知數係數 已知方程的乙個根，可利用根與係數的關係求出另乙個數及未知數係數.求代數式的值 在不解方程的情況下，可利用根與係數的關係求關於和的...
一元二次方程知識點複習
1 一元二次方程的一般式 為二次項係數，為一次項係數，為常數項。1 一元二次方程的解法 1 直接開平方法 也可以使用因式分解法 解為 解為 解為 解為 2 因式分解法 提公因式，平方公式，平方差，十字相乘法 如 此類方程適合用提供因此，而且其中乙個根為0 3 配方法 二次項的係數為 1 的時候 直接...