暑期專題輔導材料五（舊課）1
一、教學進度：
1.4 含絕對值的不等式解法
1.5 一元二次不等式解法
教學內容
1．和型的不等式
2．一元二次不等式和（）的解法
二、重點難點剖析
1．實數的大小比較
a-b＞0a＞b，a-b=0a=b a-b＜0a＜b.
2．不等式的基本性質
a＞ba+c＞b+c a＞b，c＞0ac＞bc，a＞b，c＜0ac＜bc.
3．絕對值的意義
a（a＞0）
0（a=0）
-a(a＜0＝
4．最簡絕對值的解法
|x|＞a(a＞0) x＞a或x＜-a，
|x|＜a(a＞0) -a＜x＜a.
5．|ax+b|＞c(c＞0),|ax+b|＜c(c＞0)型
6．|ax+b|＜c或|ax+b|＜c(c＞0)這兩種型別的不等式的解題方法是利用了最簡絕對值不等式的思想，把絕對值不等式化為代數不等式來解決。
7．在具體變形時要注意同解變形；
（1）|ax+b|＜c(c＞0) ax+b＞c或ax+b＜-c；
（2）|ax+b|＜c(c＞0) -c＜ax+b＜c.
然後再根據a的正、負解出相應絕對值的解。
8．解含絕對值不等式的基本思想：
含絕對值不等式不含絕對值符號不等式
9．脫去絕對符號的方法有：
（1）化歸法，化為|x|＜a或|x|＞a（a＞0）型。
（2）零點分段法，找絕對值為零的點，分段討論。
（3）數形結合。
（4）平方法，化為一元二次不等式（後面將會學到）。
10．和型的不等式
（1）解含絕對值的不等式的基本方法體現了「化歸」的數學思想，即將含絕對值的不
等式化歸為不含絕對值的「普通不等式」，在化歸時要注意絕對值的含意.
（2）對含絕對值的不等式，一般地有如不結論：
①當 或
②當，的解集為； .
③當，的解集為；的解集為r.
【例1】 求滿足的值.
解：由絕對值的定義得，
，或，∴，或.
【例2】 求不等式≤2x-1≤5的解集.
解：原不等式可以化為不等式組
由①，2x-1≥1 或 2x-1≤-1, ∴x≥1 或 x≤0.
由②，-5<2x-1<5, ∴-2 ∴原不等式的解集為.
(2) ∵|3x+5|>2x-1,
∴3x+5>2x-1, ① 或 3x+5<-(2x-1) ②
由①得 x>-6,
由②得 x<.
∴原不等式的解集為.
【例4】 求關於x的不等式|2x+1|≤t+1 (t∈r)的解集.
解當t+1<0,即t<-1時，不等式的解集為φ.
當t+1=0,即t=-1時，2x+1=0,x=,不等式的解集為{}.
當t+1>0,即t>-1時，-(t+1) ≤2x+1≤t+1,-t-2≤2x≤t, ,不等式的解集為.
評析所謂「關於x的不等式」是指除x以外的其他字母均表示常數.由於t+1的符號不確定，因此這裡需對t的不同情況分別求解.
（3）對於含有幾個絕對值的方程或不等式，可以用零點分段的方法除去絕對值符號：
【例5】（1）解方程：|x-3|+|x+2|=6；
（2）解不等式：|x-1|+|x+2|<5.
解（1）零點為3，-2，分三段討論.
當x<-2,方程為3-x-(x+2)=6,x=；
當-2≤x≤3,方程為3-x+x+2=6,5=6,無解；
當x>3,方程為x-3+x+2=6,x=.
∴ 方程的解集為.
(2)零點為1，-2，分三段討論.
當x<-2,不等式為(1-x)-(x+2)<5,x>-3, ∴-3 當-2≤x≤1,不等式為(1-x)+(x+2)<5,3<5, ∴-2≤x≤1;
當x>1,不等式為(x-1)+(x+2)<5,x<2, ∴1 ∴不等式的解集為{x|-3評析 ①所謂「零點」，即使絕對值為零的x的值.若有n個零點,則分n+1個情況討論.由於每種情況都可以去掉絕對值符號，就把含有絕對值的方程或不等式轉化為普通的方程或不等式去解.
②在每一種情況求方程或不等式的解時，所求得的解必須滿足相應的條件.
③上面的方法是解含有絕對值的問題的基本方法。這兩題也可以從絕對值的幾何意義直接得到它們的解.
解（1）|x-3|+|x+2|=6,即求數軸上到3和-2的對應點距離和等於6的點所對應的數.由數軸知，3-（-2）=5，所以該點在3對應點的右邊或在-2對應點左邊個單位，即x=或x=-.
解(2)|x-1|+|x+2|<5,即求數軸上到1和-2對應點距離和小於5的點所對應數的範圍.由數軸知，1-（-2）=3，所以x應滿足-3【例6】解不等式|x-1|+|x-2|＞3+x
令|x-1|=0，得x=1；
令|x-2|=0，得x=2。
於是1，2的對應點將整個實數軸分成三個區域，如圖所示。
（1）當x≤1時，原不等式即
-（x-1）-（x-2）＞3+x，x＜0。
由得x＜0；
（2）當1＜x≤2時，原不等式即
（x-1）-（x-2）＞3+x，即x＜-2.
由得x∈○ ；
（3）當x＞2時，原不等式即
（x-1）+（x-2）＞3+x,即x＞6。
由得x＞6
綜上，原不等式解集
∪∪○=.
說明零點段法化去絕對值符號是解決有關絕對值問題的基本方法。
數x1，x2，x3…xn分別使含|x-x1|，|x-x2|，|x-x3|，|x-xn|的代數式f中相應的乙個值對的值為零，零，稱x1，x2，x3，…xn為相應絕對值的零點，零點x1，x2，x3，將數軸分成n+1段，在每一段上，（x-x1），（x-x2），（x-x3），…，（x-xn）都有確定的正負號，利用絕對值定義，可以化去絕對值符號，得到代數式f在各段上的簡化式。
【例7】對任意實數x若不等式|x+1|-|x-2|＞k恆成立，求k的取值範圍。
解法1 根據絕對值幾何意義：|x+1|即點x到點-1的距離，|x-2|即點x到點2的距離，那麼x在數軸上可能的位置有五種情形：
x＜-1,-1＜x＜2,x＞2,x=-1,x=2.
如圖1-2，無論x取何值總有
-3≤|x+1|-|x-2|≤3，
故k＜-3
【例8】（1）當a≤0時不等式|x-4|+|3-x|＜a的取值範圍。
令x-4=0,得x=4，
令3-x=0，得x=3.
①當x≥4時，x-4+x-3＜a.
即2x - 7＜a
解不等式組得4≤x＜
∴ a＞1
②當3＜x＜4,有4-x+x-3＜a，即a＞1.
③當x≤3，有4-x+3-x＜a，即7-2x＜a，解不等式得＜a≤3，∴a＞1。
綜上知，當a＞1時，原不等式有解，從而，當0＜a≤1，原不等式解集為空集。
由（1）（2）兩種情況可知不等式|x-4|+|3-x|＜a的解集是空集，a的取值範圍是a≤1。
一元二次不等式
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)解的符號情況：
方程有兩個正根
方程有兩個負根
方程有乙個正根乙個負根 （此時必有）.
2.一元二次不等式.只要熟練掌握相應的拋物線與x軸位置關係，就能迅速準確地求得不等式
的解.對於不等式ax2+bx+c>0(<0)，實際上就是要求拋物線y=ax2+bx+c在x軸上方（下方）的點的橫座標的範圍.
借助於圖象，把一元二次不等式的解的情況列表如下（設a>0）：
對於含有等號的不等式或a<0的情況，類似地可以由影象得出不等式的解，但習慣上解一元二次不等式時，常使二次項係數a<0.
3．解一元二次不等式的基本思想
（1）一元二次不等式問題二次函式、一元二次方程與二元二次不等式的關係問題。
（2）一元二次不等式 （x-a）（x-b）＞0型一元二次不等式組。
4．分式不等式
＞0＞0；＜0＜0
【例9】 解下列不等式：
（1）2-3x-2x2>02）4+3x-x2≤0;
（3）1+x-x2>04）1-2(x-1)2≤0.
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