水力學中經常會遇到一些高次方程，微分方程的求解問題。多年來，求解複雜高次方程的基本方法便是試演算法，或查圖表法，對於簡單的微分方程尚可以用積分求解，而邊界條件較為複雜的微分方程的求解就存在著較大的困難，但隨著計算數學的發展及計算機的廣泛使用，一門新的水力學分支《計算水力學》應運而生，但用計算機解決水力學問題，還需要了解一些一般的計算方法。在水力學課程中常用的有以下幾種，現分述於後。
一、高次方程序的求解方法：
（一）二分法
1、二分法的基本內容：在區間[x1，x2]上有一單調連續函式f（x）=0，則可繪出f（x）～ｘ關係曲線。如果在兩端點處函式值異號即f（x１）·f（x2）＜0，（見圖（一）），則方程f（x）=0，在區間[x1，x2]之間有實根存在，其根的範圍大致如下：
取1°若f（x2）·f（x3）＞0，
則解ξ∈[x1，x3]
2°若f（x2）·f（x3）＜0，
則解ξ∈[x3，x2]
3°若f（x2）·f（x3）=0，
則解ξ=x3
對情況1°，可以令x2=x3，重複計算。
對情況2°，可以令x1=x3，重複計算。
當規定誤差ε之後，只要|x1-x2|≤ε，則x1(或x2)就是方程f(x)=0的根。
顯然，二分法的理論依據就是高等數學中的連續函式介值定理。
它的優點是思路清晰，計算簡單，其收斂速度與公比為的等比級數相同；它的侷限性在於只能求實根，而不能求重根。
2、二分法的程式框圖(以求解明渠均勻流正常水深為例)
最後必須說明，二分法要求x2值必須足夠大，要保證f1·f2＜0，否則計算得不到正確結果。為了避免x2值不夠大，產生計算錯誤，在程式中加入了判別條件f1·f2＞0。也可以給定xj及步長△x，讓計算機選擇x2(x2=x1+△x)。
(二)牛頓法，
1、牛頓法的基本內容：設有連續函式f(x)=0，則可以繪出f(x)～x關係曲線，選取初值xo，過點（xo·f(xo)）作一切線，其斜率為輔f＇（xo），切線與x軸的交點是x1，
則有：再過(x1，f(x1)作切線，如此類推得到牛頓法的乙個迭代序列：xn+l=xn-f(xn)/f＇(xn)，令xn=xn+1，重複計算，直至滿足給定的精度要求，即|xn+1-xn|≤，從而得到方程f(x)=0的根。
牛頓法具有平方收斂速度，比較快，但計算工作量大，每次運算除計算函式值外，還要計算微商值。對於牛頓法來講，只要f(x)在零點附近存在連續的二階微商，ξ是f(x)的一重零點，且初值xo充分接近於ξ，那麼牛頓迭代就一定收斂。
2、牛頓迭代法的程式圖框可以參看臨界水深計算程式。
(三)迭代法
1、迭代法的基本內容：設有一方程f（x）=0，可以寫成等價形式x=φ(x)，再做迭代式xn+1=φ(xn),只要給定初始值xo，用式子
進行反覆運算，就可以得到了個序列。
如果序列收斂，並假設ξ= xn+1=φ（xn）=φ(ξ)也就是說ξ是方程f(x)=0的根。一般可以根據問題的性質人為地規定精度ε，認為當|xn+1-xn|≤ε時，xn+1或xn就是方程的根。
從上面可以看出，迭代法的實質就是把方程f(x)=0的根問題轉化為求迭代序列的極限問題，迭代過程的幾何意義就是求
兩曲線的交點問題，交點處的橫座標正好就是方程的解。但是，用計算機進行迭代計算，最關鍵的問題就是要構造出正確的迭代計算公式；如果構造的迭代計算公式不適當，或者初值給的不合適，則都可能導致計算不收斂或者發生計算錯誤。例如，洩水建築物下游收縮水深的計算，其基本數學公式是：
若進行迭代計算選用如下公式：
（hc1為初值）
則只要初值hc1∈[0，eo]，則計算結果均收斂於正確解。如若選用迭代公式，。只要初值hc1＞0，則計算均收斂，但收斂於下游乙個較大的淹沒水深，並非正確解，發生計算錯誤。
在非稜柱體明渠水面線計算中，同樣存在這一問題。可見迭代公式選擇的重要性。
迭代公式的收斂性可以用下述定理描述：把方程f(x)=0改寫成x=φ(x)，如果φ(x)滿足lipschitz條件：即對任意的x1和x2，都有|φ（x1）-φ（x2）|≤l|x1-x2|，其中l為一與x1和x2均無關的正常數(簡稱李氏常數)；若l＜1，則迭代收斂，收斂的準確解為ξ，其收斂速度為：
|xn-ξ|≤
高次方程的解往往不是乙個，因此構造出迭代公式，並判定其收斂之後，尚要根據問題的背景及實際情況對收斂解進行分析討論，確認為是真解方可，否則，尚需修改初值或重新構造迭代公式。
2、迭代法的程式框圖可以參看水躍水力計算程式。
本程式集中迭代法應用較多，主要原因是迭代法思路簡單明瞭，收斂較快，程式也短。
二、插值法和資料擬合法
插值法和資料擬合法都是根據給定的資料表(如水位流量資料)，設法尋找乙個解析形式的函式φ(x)，來近似地代替這些資料間的函式關係f(x)。但插值法和資料擬合法之間又有不同之處。插值法要求求得的插值函式y=φ(x)在插值結點陣字型檔x1上都滿足yi=φ(xi)，即要求插值函式曲線通過所有的插值結點(xi，yi)，但一般的實驗資料中總是有觀測誤差存在，因此曲線y=φ(x)通過所有的實驗點會使曲線保留全部的觀測誤差的影響，這是我們所不希塑的。
資料擬合法則克服了這點不足，它不要求曲線φ(x)通過所有的點(xi，yi)，僅要求曲線和資料之間存在著較高的相關係數即可。
關於插值法和資料擬合法的具體內容可參看有關方面的書籍。
本程式集中，插值法及資料擬合法均有應用，例如，例項二中，上游水位與過水斷面面積之間的關係就是應用分段線性插值得到它的分段函式表示式的；再如，較多的查圖或者查表計算問題，我們都是應用資料擬合法求出它的函式式，應用的程式是熊運章教授的edps程式，分析得出的擬合曲線其相關係數均在0.99以上。
三、數值積分法
1、數值積分法的基本內容：在區間[a、b]上定義的黎曼可積函式f(x)，由於f(x)可能以**形式給出，也可能f(x)的原函式無法用初等函式描述，因此直接積分存在著困難，但我們可以通過插值先構造乙個多項式p(x)去逼近被積函式f(x)，並以p(x)在區間[a、b]上積分去代替f(x)在區間[a、b]上的積分，即
，其中p(x)是比較容易積分的代數多項式。最常用的p(x)函式有如下兩種形式：
(1)p(x)為一條過兩端點的直線，其函式形式是：
，從右圖可以看出，這實質上是用直角梯形面積去代替邊梯形的面積，故稱為梯形求積公式
(2)p(x)為一條過兩端點及其中點的拋物線，它的函式形式是：
從右圖可以看出，這實質上是以拋物線圍成的曲邊梯形面積代替原f(x)所圍成的曲邊梯形面積，故稱之為拋物線求積公式，也稱辛浦生公式。
為了提高精度，常將區間[a，b]分為足夠多的n等分，然後求各個小部分的和。
2、數積積分的程式框圖可以看稜柱體明渠水面線計算程式。
四、直接差分法
直接差分法是以偏差商代替偏導數，把基本的微分方程化為差分方程，在自變數域s～t平面上建立差分網格，根據問題的初始條件及邊界條件，求得各網格結點上的近似解。
直接差分法的差分網格形式有好幾種，不盡相同，各種形式所要求的步長也不一樣，再者，差分方程還存在著相客性，收斂性，穩定性問題，比較複雜，讀者可參考有關方面的專著。
直接差分法的程式例子可以看清華大學《水力學》下冊。
五、有限單元法
有限單元法的基本思想是將微分方程的定解問題(包括邊值和初值問題)通過變分途徑化為求泛函式的極值問題；然後將求解區域分割為許多小單元，通過區域剖分和分片插值，把求泛函式極值的問
題又轉化為代數方程組的求解問題，解此代數方程組就可以得到問題的解答。
關於代數方程組的解法，對於線性代數方程組常見的有高斯消去法，lu分解法，迭代法等，對於非線性方程組常見的有牛頓迭代法等。多有現成程式可供利用。
有限單元法的程式例子可以參看清華《水力學》下冊。
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