內容摘要：
矩陣是線性代數的重要研究物件。矩陣初等變換是線性代數中一種重要的計算工具，利用矩陣初等變換，可以求行列式的值，求解線性方程組，求矩陣的秩，確定向量組向量間的線性關係。
一矩陣的概念
定義：由於m×n個數aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的數表，稱為m行n列，簡稱m×n矩陣
二矩陣初等變換的概念
定義：矩陣的初等行變換與初等列變換，統稱為初等變換
1.初等行變換
矩陣的下列三種變換稱為矩陣的初等行變換:
(1) 交換矩陣的兩行(交換兩行,記作);
(2) 以乙個非零的數乘矩陣的某一行(第行乘數,記作);
(3) 把矩陣的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,記為).
1. 初等列變換
把上述中「行」變為「列」即得矩陣的初等列變換
3 ,如果矩陣a經過有限次初等變換變成矩陣b,就稱矩陣a與矩陣b等價，記作a~b
矩陣之間的等價關係具有下列基本性質:
(1) 反身性 ;
(2) 對稱性若,則;
(3) 傳遞性若,,則.
三矩陣初等變換的應用
1. 利用初等變換化矩陣為標準形
定理：任意乙個m× n矩陣a，總可以經過初等變換把它化為標準形
2. 利用初等變換求逆矩陣
求n階方陣的逆矩陣：即對n×2n矩陣（ae）施行初等行變換，當把左邊的方陣a變成單位矩陣e的同時，右邊的單位矩陣也就變成了方陣a的逆矩陣a^(-1)
即(a|e)經過初等變換得到(e|a^(-1))
這種計算格式也可以用來判斷a是否可逆，當我們將a化為行階梯形矩陣時，
若其中的非零行的個數等於n時，則a可逆，否則a不可逆。
設矩陣可逆，則求解矩陣方程等價於求矩陣
，為此，可採用類似初等行變換求矩陣的逆的方法，構造矩陣，對其施以初等行變換將矩陣化為單位矩陣，則上述初等行變換同時也將其中的單位矩陣化為，即
.這樣就給出了用初等行變換求解矩陣方程的方法.
同理, 求解矩陣方程等價於計算矩陣亦可利用初等列變換求矩陣. 即
.3．利用矩陣初等變換求矩陣的秩
矩陣的秩的概念是討論向量組的線性相關性、深入研究線性方程組等問題的重要工具. 從上節已看到，矩陣可經初等行變換化為行階梯形矩陣，且行階梯形矩陣所含非零行的行數是唯一確定的, 這個數實質上就是矩陣的「秩」,鑑於這個數的唯一性尚未證明，在本節中，我們首先利用行列式來定義矩陣的秩，然後給出利用初等變換求矩陣的秩的方法.
定理：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，即若a~b則r（a）=r(b)
為求矩陣的秩，只要把矩陣用初等行變換變成階梯矩陣解體矩陣中非零行的行數即是該矩陣的秩
利用矩陣值得概念，能夠討論線性方程組有解的條件，然後通過研究向量組的線性相關性，向量組的秩等重要概念，討論線性方程組的結構。
4. 行列式的計算
一般格式：經過將行列式等行變換化為上三角形
5．求線性方程組的解
一般格式:
(1)齊次線性方程組ax=0，a是m×n矩陣
1°對係數矩陣a進行初等行變換，將其化為行階梯矩陣，求出r(a)。
若r(a)=n，則ax=0，只有零解；若r(a)＜n， 則ax=0有非零解，轉入2°
2°對階梯陣繼續施行初等行變換將其化為行最簡形矩陣，寫出其對應的
線性方程組，以非零行首個非零元對應的k個未知量為基本未知量，其餘的n-k個
未知量為自由未知量，將自由未知量移到等式右端得到一般解，在一般解中分別令
自由未知量中乙個為1，其餘全為0，求得ax=0的基礎解系：x１，x２，…，xn-k
3°n-k個解向量的線性組合：c１x１+c2x２+…+cn-kxn-k(c１，c２，…，cn-k為任意常數)就是ax=0的通解。
(2)非齊次線性方程組ax=b，a是m×n矩陣
1°對增廣矩陣(ab)進行初等行變換，將其化為行階梯矩陣，求出r(a)與r(ab)，若r(a)＜r(ab)，則ax=b無解；若r(a)=r(ab) 則ax=b有解，轉入2°
2°對行階梯陣繼續施行初等行變換，將其化為行最簡形矩陣，寫出其對應的線性方程組，此時若r(a)=r(ab)=n，則ax=b有唯一解，行最簡形矩陣所對應的線性方程組就是這唯一解的表示式；若r(a)=r(ab)=k＜n，則ax=b有無窮多解，轉入3°
3°以非零行的首個非零元對應的k個未知量為基本未知量，其餘n-k個未知元為自由未知量，將自由未知量移到等式右端，得到ax=b的一般解，令所有的自由未知量為0，求得ax=b的乙個特解x0
4°在ax=b的一般解中去掉常數項，就得到匯出組ax=0的一般解，分別令乙個自由未知量為1其餘自由未知量都為0，求出匯出組ax=0的基礎解系，x１，x２，…，xn-k與通解c１x１＋c２x2＋…＋c n-kxn-k
5°ax=b的乙個特解加匯出組ax=0的通解c１x1+c２x2+…+cn-kxn-k+x0(c１，…，cn-k為任意常數) 就是ax=b的通解。
6. 確定向量組的線性相關性
一般格式：設向量組為α1α2……αm，以α1α2……αm為列構成矩陣a，對a施行
初等行變換，將它化成行階梯形矩陣，求出其秩r（a），若r（a）=m，
則α1α2……αm線性無關，若r（a）7. 確定一向量能否由另一向量線性表出
一般格式：以向量組α1α2……αm與向量β為列構成矩陣a，然後對a施行初等行變換，化為行最簡形矩陣b
8. 求向量組的秩與極大無關組
一般格式：設向量組α1α2……αm，以它們為列構成矩陣a
b的非零行的首個元素所在的列向量對應的α1α2……αm中的向量αi1……αir
構成乙個極大無關組，其向量的個數即為向量組α1α2……αm的秩。
結論矩陣初等變換在解決線性代數的計算問題中有很多應用，這些計算格式有不少類似之處。但是由於這些計算格式有不同的原理，所以，它們也有一些明顯的區別。
計算格式1既可以用初等行變換也可以用初等列變換，施行這些變換時要注意使行列式保值。
計算格式3既可以用初等行變換也可以用初等列變換，但是我們一般只用初等行變換。
其餘計算格式只能使用初等行變換。
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