1． (2015·河南，第22題10分)如圖1，在rt△abc中，∠b＝90°，bc＝2ab＝8，點d，e分別是邊bc，ac的中點，連線de. 將△edc繞點c按順時針方向旋轉，記旋轉角為α.
（1）問題發現
① 當時
② 當時
（2）拓展**試判斷：當0°≤α＜360°時，的大小有無變化？請僅就圖2的情況給出證明.
（3）問題解決當△edc旋轉至a、d、e三點共線時，直接寫出線段bd的長
2．在正方形外側作直線，點關於直線的對稱點為，連線，其中交直線於點．
（1）依題意補全圖1；
（2）若，求的度數；
（3）如圖2，若，用等式表示線段之間的數量關係，並證明．
3．如圖1，在□abcd中，點e是bc邊上的中點，點f是線段ae上一點，bf的延長線交射線cd於點g，若ab＝6，，求dg的長．
小公尺的發現，過點e作交bg於點h（如圖2），經過推理和計算能夠使問題得到解決．則dg
如圖3，四邊形abcd中，ad∥bc，點e是射線dm上的一點，連線be和ac相交於點f，若，，求的值（用含的代數式表示）.
4.在△abc中，ab＝bc＝2，∠abc＝90°，bd為斜邊ac上的中線，將△abd繞點d順時針旋轉α(0°＜α＜180°)得到△efd，其中點a的對應點為點e，點b的對應點為點與fc相交於點h.[
（1）如圖1，直接寫出be與fc的數量關係
（2）如圖2，m、n分別為ef、bc的中點.求證：mn＝；
（3）連線bf，ce，如圖3，直接寫出在此旋轉過程中，線段bf、ce與ac之間的數量關係
5．如圖，△abc中，∠bac＝90°，ab＝ac，邊ba繞點b順時針旋轉α角得到線段bp，鏈結pa，pc，過點p作pd⊥ac於點d．
（1）如圖1，若α＝60°，求∠dpc的度數；
（2）如圖2，若α＝30°，直接寫出∠dpc的度數；
（3）如圖3，若α＝150°，依題意補全圖，並求∠dpc的度數．
6.在平面內，將乙個圖形以任意點為旋轉中心，逆時針旋轉乙個角度，得到圖形，再以為中心將圖形放大或縮小得到圖形，使圖形與圖形對應線段的比為，並且圖形上的任一點，它的對應點**段或其延長線上；我們把這種圖形變換叫做旋轉相似變換，記為，其中點叫做旋轉相似中心，叫做旋轉角，叫做相似比. 如圖1中的線段便是由線段經過得到的.
（1）如圖2，將△abc經過☆後得到△，則橫線上「☆」應填下列
四個點、、、中的點
（2）如圖3，△ade是△abc經過得到的，，
則這個圖形變換可以表示為.
7．（2015北京）在正方形abcd中，bd是一條對角線，點p在射線cd上（與點c、d不重合），連線ap，平移△adp，使點d移動到點c，得到△bcq，過點q作qh⊥bd於h，連線ah，ph．
(1）若點p**段cd上，如圖1．
①依題意補全圖1；
②判斷ah與ph的數量關係與位置關係並加以證明；
(2）若點p**段cd的延長線上，且∠ahq＝152°，正方形abcd的邊長為1，請寫出求dp長的思路．（可以不寫出計算結果）
8．在△abc中，ab＝ac，∠bac＝（），將線段bc繞點b逆時針旋轉60°得到線段bd．
（1）如圖1，直接寫出∠abd的大小（用含的式子表示）；
（2）如圖2，∠bce＝150°，∠abe＝60°，判斷△abe的形狀並加以證明；
（3）在（2）的條件下，鏈結de，若∠dec＝45°，求的值．
9.（2012浙江嘉興、舟山12分）將△abc繞點a按逆時針方向旋轉θ度，並使各邊長變為原來的n倍，得△ab′c′，即如圖①，我們將這種變換記為[θ，n]．
（1）如圖①，對△abc作變換[60°，]得△ab′c′，則s△ab′c′：s△abc＝ ；直線bc與直線b′c′所夾的銳角為度；
（2）如圖②，△abc中，∠bac＝30°，∠acb＝90°，對△abc 作變換[θ，n]得△ab'c'，使點b、c、c′在同一直線上，且四邊形abb'c'為矩形，求θ和n的值；
（4）如圖③，△abc中，ab＝ac，∠bac＝36°，bc＝l，對△abc作變換[θ，n]得△ab′c′，使點b、c、b′在同一直線上，且四邊形abb'c'為平行四邊形，求θ和n的值．
（1）【分析】①根據題意可得de是三角形abc的中位線和bd的長，根據中位線的性質和勾股定理求得ae的長即可求解；②根據旋轉180°的特性，結合①，分別得到ac、ce、bc和cd的長即可求解.
解：①；………（1分2分
【解法提示】①當α=0°，如解圖①，∵bc=2ab=8，∴ab=4，∵點d，e分別是邊bc，ac的中點，∴de=,ae=ec,，∵∠b=90°，∴,∴ae=ce=,∴；②當α=180度，如解圖②，由旋轉性質可得ce=,cd=2，∵ac=，bc=8
（2）【分析】在由解圖①中，由平行線分線段成比例得到，再觀察圖②中△edc繞點c的旋轉過程，結合旋轉的性質得到任然成立，從而求得△ace∽△bcd，利用其性質，結合題幹求得ac的長即可得到結論
(3) 【分析】 解10分）
【解法提示】當△edc在bc上方，且a，d，e三點共線時，四邊形abcd為矩形，
∴bd=ac=；當△edc在bc下方，且a，e，d三點共線時，△adc為直角三角形，由勾股定理可求得ad=8，∴ae=6，根據=可求得bd
圖圖28.（12分
（2）證明：如圖2，∵ab=bc，∠abc=90°，bd為斜邊中線
∴bd=ad=cd=，bd⊥ac
∵ △efd是由△abd旋轉得到的，
∴de=df=db=dc，∠edf=∠adb=∠bdc=90°
∴∠edf+∠bdf=∠bdc+∠bdf，即∠bde=∠fdc
∴△bde≌△fdc
∴be=fc且又∵
∴ ,即3分
連線bf，取bf中點g，連線mg、ng.
∵m為ef中點，g為bf中點，n為bc中點
∴mg∥be，mg=；ng∥fc，ng=
又∵eb=fc，be⊥fc∴mg=ng，∠mgn=90°∴△mgn為等腰直角三角形
∴mn5分
（37分
28．解：（1）∵邊ba繞點b順時針旋轉α角得到線段bp，∴ba= bp，
∵α=60°，∴△abp是等邊三角形1分
∴∠bap=60，ap= ac，又∵∠bac=90°，∴∠pac=30，∠acp=75，
∵pd⊥ac於點d，∴∠dpc=152分
（2）結論：∠dpc=753分
（3）畫圖4分
過點a作ae⊥bp於e．
∴∠aeb=90，∵∠abp=150°，∴∠1=30，∠bae=60，
又∵ba= bp，∴∠2=∠3=15，∴∠pae=75，
∵∠bac=90°，∴∠4=75，∴∠pae=∠4，
∵pd⊥ac於點d，∴∠aep=∠adp =90，
∴△ape≌△apd5分
∴ae= ad，在rt△abe中，∠1=30，∴，
又∵ab=ac，∴，∴ad=cd，
又∵∠adp=∠cdp=90，∴△ adp≌△cdp，
∴∠dcp=∠4=75，∴∠dpc=15．
另法：作平行，構造平行四邊形．
解析：【解析】（1）
（2）為等邊三角形[證明連線、、
∵線段繞點逆時針旋轉得到線段
則，又∵
∴且為等邊三角形.
在與中∴≌（sss）∴
∵∴在與中
∴≌（aas）
∴∴為等邊三角形
（3）∵，∴又∵
∴為等腰直角三角形∴∵
∴而【答案】解：（1） 3；60。
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