數學高考總複習：三角函式的圖象與性質
經典例題精析
型別一：週期
1. 求下列函式的週期：
（1）；（2）
解析：（1）， ∴週期為；
（2）函式的週期， ∴週期為.
總結昇華：
① 求三角函式式的最小正週期時，要盡可能地化為只含乙個三角函式，且三角函式的次數為1的形式：或，否則很容易出現錯誤。
② 二者的共同點是，
如：的週期是，的週期是.
舉一反三：
【變式】求函式的最小正週期．
（1）； （2）； （3）
【答案】
（1），∴週期為；
（2） ，∴週期為；
（3），∴週期為；
型別二：定義域
2．求函式的定義域。
思路點撥：找出使函式有意義的不等式組，並解答即可.
解析：將上面的每個不等式的範圍在數軸上表示出來，然後取公共部分，
由於x∈[-5,5]，故下面的不等式的範圍只取落入[-5，5]之內的值，
即：∴因此函式的定義域為：。
總結昇華：
①sinx中的自變數x的單位是「弧度」，x∈r，不是角度。求定義域時，若需先把式子化簡，一定要注
意變形時x的取值範圍不能發生變化。
②求三角函式的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函式線.
舉一反三：
【變式1】求函式的定義域：
【答案】要使得函式有意義，需滿足，
解得或， ∴定義域為：.
【變式2】已知的定義域為，求的定義域.
【答案】∵中，∴中，
解得，∴的定義域為：.
型別三：三角函式的圖象
3．試述如何由的圖象得到的圖象.
【答案】
方法一：
.方法二：
.舉一反三：
【變式1】由的圖象得到的圖象需要向平移________個單位.
【答案】左，；
∵，∴由的圖象得到的圖象需要向左平移個單位.
舉一反三：
【變式2】將函式的圖象按向量平移，平移後的圖象如圖所示，則平移後的圖象所對應函式的解析式是（ ）
a． b． c． d．
【變式3】寫出下列函式圖象的解析式
（1）將函式的圖象上所有點向左平移個單位，再把所得圖象上各點的橫座標擴大為原來的2倍，得到所求函式的圖象。
（2）將函式的圖象上所有點橫座標縮為原來的一半，縱座標保持不變，然後把圖象向左平移個單位，得到所求函式的圖象。
【答案】
（1）； 按圖象變換的順序，自變數的改變量依次是：，倍。
圖象的解析式依次為： → → .
（2）； 按圖象變換的順序，自變數的改變量依次是：2倍，。
圖象的解析式依次為： → → 即.
型別四：單調性與最值、值域
5．已知函式，
(1)求函式的最小值以及相應的的取值的集合；
(2)寫出函式在上的單調遞增區間。
思路點撥：先將化簡為,然後將看作乙個整體,數形結合求最小值；利用復合函式的單調性進行討論.
解析：，（1）當即（）時，的最小值為-2，
故當時，.
（2）該函式是和的復合函式，
∵為增函式，要求的遞增區間，只須求的遞增區間
∵的遞增區間為：()
∴由得：()
∵，∴時，時，
故該函式的單增區間是或.
總結昇華：
1．把三角函式式化簡為（）是解決週期、最值、單調區間、對稱性等問題的常用方法.
2．三角函式的最值都是在給定區間上取得的，因而特別要注意題設中所給出的區間
（1）求三角函式最值時，一般要進行一些代數變換和三角變換，要注意函式有意義的條件及弦函式的有界。
（2）含引數函式的最值問題，要注意引數的作用和影響.
舉一反三：
【變式1】求下列函式的單調遞增區間.
（1），（2），（3）.
【答案】（1）∵，∴遞增區間為()；
（2）畫出的圖象：
可知增區間為()；
（3）函式在區間()上是增函式.
【變式3】已知函式．求函式在區間上的最小值和最大值．
【答案】，
∵當，∴，
當，即時；
當，即時.
6．求下列函式的值域.
（1）； （2）；
（3） 解析：
（1），
由正弦函式圖象可知：
當即時，；當即時，.
所以函式值域為.
（2）由去分母得：,
移項整理，
由輔助角公式得：
（） ∴,
即. 平方整理得:, 解出：，
所以函式值域為.
（3）由得
∴令，則∴,當時，， 當時，.
所以函式值域為.
舉一反三：
【變式1】求下列函式的值域：
（1）； （2）； （3）.
【答案】
（1）∴當時，有最大值；
當時，有最小值－４.
∴值域為
（2）∵,∴，
即，解得，
∴值域為.
（3）∵，
∴值域為.
【變式2】已知函式的定義域為，值域為，求常數、的值．
【答案】
（1）若，不符合題意.
（2）若，有時，；時，
（3）若，有時，；時，
∴，. 故，或，.
型別五：奇偶性與對稱性
7．已知函式
（1）判斷函式的奇偶性；（2）判斷函式的對稱性。
解析：（1）的定義域關於原點對稱，
∵且，∴函式不是奇函式也不是偶函式.
（2）∵令,則的圖象的對稱軸是，對稱中心（），
∴函式的圖象的對稱軸是即（）
由得（），
∴函式的圖象的對稱中心是（）.
總結昇華：
①經過等值變形盡量轉化為乙個角的乙個三角函式式（），再判斷其奇偶性。函式的奇偶性與函式的對稱性既有聯絡又有區別，用定義法，換元法。
②對於（）來說，對稱中心與零點（平衡位置）相聯絡，對稱軸與最值點（極值點）聯絡.
舉一反三：
【變式1】判斷下列函式的奇偶性
（1）； （2）.
【答案】
（1）定義域關於原點對稱，
又∴ 函式為奇函式。
（2）∵從分母可以得出（），∴定義域在數軸上關於原點不對稱。
∴ 函式為非奇非偶函式
【變式2】設函式的圖象的一條對稱軸是直線，則______；
【答案】∵是的影象的對稱軸，
∴即（）
又，∴型別六：綜合
1．已知函式，直線x＝t（t∈r）與函式f(x)、g(x)的影象分別交於m、n兩點
⑴當時，求|mn|的值； ⑵求|mn|在時的最大值。
解析：（1）（2）∵ ∴｜mn｜的最大值為.
2．求函式的最大值與最小值。
解析：故當時取得最大值，當時取得最小值
3．已知向量m=(sina,cosa),n=，m·n＝1，且a為銳角.
（ⅰ）求角a的大小；
（ⅱ）求函式的值域.
解析：（ⅰ）由題意得
， 由a為銳角得
（ⅱ）由（ⅰ）知
所以因為x∈r，所以，因此
當時，f(x)有最大值，當sinx=-1時，f(x)有最小值-3，
所以所求函式f(x)的值域是.
三角函式經典例題
三角函式 1.已知cos tan 0,那麼角是第象限角.2.已知角終邊上一點p的座標是 2sin2,2cos2 則sin 3.是第二象限角，p x，為其終邊上一點，且cos 則sin 4.與610 角終邊相同的角表示為 5.已知 sin2 1,則所在象限為第象限.6.已知點p tan，cos 在第三...
三角函式經典練習
1 若點p在的終邊上，且op 2，則點p的座標 a b c d 2 已知 a b c d 3 下列函式中，最小正週期為的是 a b c d 4 a b c d 5 若是三角形的內角，且，則等於 ab 或 cd 或 6 下列函式中，最小值為 1的是 a b c d 7 設的值是 abcd 8 的值是 ...
三角函式經典練習
2.1三角函式知識梳理 1.任意角的三角函式的定義 設是任意乙個角，p是的終邊上 的任意一點 異於原點 它與原點的距離是，那麼，三角函式值只與角的大小有關，而與終邊上點p的位置無關。2.同角三角函式的基本關係式 1 平方關係 2 商數關係 用於切化弦 平方關係一般為隱含條件，直接運用。注意 1 的代...