《特殊平行四邊形》全章複習與鞏固（提高）知識講解
【學習目標】
1. 掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概念, 了解它們之間的關係.
2. 探索並掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的有關性質和常用判別方法, 並能運用這些知識進行有關的證明和計算.
【知識網路】
【要點梳理】
要點一、平行四邊形
1．定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.
2．性質：（1）對邊平行且相等；
（2）對角相等；鄰角互補；
（3）對角線互相平分；
（4）中心對稱圖形.
3．面積：
4．判定：邊：（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；
2）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
角：（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
5）任意兩組鄰角分別互補的四邊形是平行四邊形．
邊與角：（6）一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形；
對角線：（7）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
要點詮釋：平行線的性質：
（1）平行線間的距離都相等；
（2）等底等高的平行四邊形面積相等.
要點二、菱形
1. 定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
2．性質：（1）具有平行四邊形的一切性質；
2）四條邊相等；
3）兩條對角線互相平分且垂直，並且每一條對角線平分一組對角；
（4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.
3．面積：
4．判定：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；
（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；
（3）四邊相等的四邊形是菱形.
要點三、矩形
1．定義：有乙個角是直角的平行四邊形叫做矩形.
2．性質：（1）具有平行四邊形的所有性質；
（2）四個角都是直角；
（3）對角線互相平分且相等；
（4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.
3．面積：
４．判定：（1) 有乙個角是直角的平行四邊形是矩形.
2）對角線相等的平行四邊形是矩形.
3）有三個角是直角的四邊形是矩形.
要點詮釋：由矩形得直角三角形的性質：
（1）直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半；
（2）直角三角形中，30度角所對應的直角邊等於斜邊的一半．
要點四、正方形
1. 定義：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.
2．性質：（1）對邊平行；
（2）四個角都是直角；
（3）四條邊都相等；
（4）對角線互相垂直平分且相等，對角線平分對角；
（5) 兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形；
（6）中心對稱圖形，軸對稱圖形.
3．面積：邊長×邊長＝×對角線×對角線
4．判定：（1）有乙個角是直角的菱形是正方形；
（2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；
（3）對角線相等的菱形是正方形；
（4）對角線互相垂直的矩形是正方形；
（5）對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；
（6）四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形是正方形.
【典型例題】
型別一、平行四邊形
1、已知，△abc中，∠bac=45°，以ab為腰以點b為直角頂點在△abc外部作等腰直角三角形abd，以ac為斜邊在△abc外部作等腰直角三角形ace，鏈結be、dc，兩條線段相交於點f，試猜想∠efc的度數並說明理由．
【答案與解析】
解法一：作dh//be交ea延長線於h，連線ch
易證四邊形behd為平行四邊形
解法二：作cg//be交ab的延長線於g，連線dg，
∵△abc與△ace都是等腰直角三角形，
∴∠eab=∠cae+∠cab=90°.
又∠aec=90°，
∴ab∥ce.
∴四邊形becg為平行四邊形，
∴ce=gb，又ae=ec，
∴gb=ae.
在△bgd與△aeb中，
db=ab，∠dbg=∠bae=90°，gb=ae，
∴， ∴∠gdb=∠abe，be=dg.
∵平行四邊形bgce,
∴∠abe=∠agc，be=gc,
∴∠gdb =∠agc, gc= dg.
∴∠dgc=∠dga+∠agc=∠dga+∠gdb=90°.
於是是等腰直角三角形，
所以.【總結昇華】通過做平行線，構造平行四邊形，再證明全等，使問題得解．
型別二、菱形
2、如圖，平行四邊形abcd中，ab⊥ac，ab＝1，bc＝．對角線ac，bd 相交於點o，將直線ac繞點o順時針旋轉，分別交bc，ad於點e，f.
（1）證明：當旋轉角為90°時，四邊形abef是平行四邊形；
（2）試說明在旋轉過程中，線段af與ec總保持相等；
（3）在旋轉過程中，四邊形bedf可能是菱形嗎？如果不能，請說明理由；如果能，說明理由並求出此時ac繞點o順時針旋轉的度數．
【思路點撥】（1）當旋轉角為90°時，∠aof=90°，由ab⊥ac，可得ab∥ef，即可證明四邊形abef為平行四邊形；（2）證明△aof≌△coe即可；（3）當ef⊥bd時，四邊形bedf為菱形，又由ab⊥ac，ab=1，bc=，易求得oa=ab，即可得∠aob=45°，求得∠aof=45°，則可得此時ac繞點o順時針旋轉的最小度數為45°．
【答案與解析】
（1）證明：當∠aof＝90°時，ab∥ef，
又af∥be，
∴四邊形abef為平行四邊形．
（2）證明：四邊形abcd為平行四邊形，
∴ao＝co，∠fao＝∠eco，∠aof＝∠coe.
∴△aof≌△coe
∴af＝ce
（3）四邊形bedf可以是菱形．
理由：如圖，連線bf，de，
由（2）知△aof≌△coe，得oe＝of，
∴ef與bd互相平分．
∴當ef⊥bd時，四邊形bedf為菱形．
在rt△abc中，，
∴oa＝1＝ab，又ab⊥ac，∴∠aob＝45°，
∴∠aof＝45°，
∴ac繞點o順時針旋轉45°時，四邊形bedf為菱形．
【總結昇華】要證明四邊形是菱形，先證明這個四邊形是平行四邊形，再利用對角線互相垂直的特徵證明該平行四邊形是菱形.
舉一反三：
【變式】已知:如圖所示，bd是△abc的角平分線，ef是bd的垂直平分線，且交ab於e，交bc於點f.求證:四邊形bfde是菱形.
【答案】
證明：∵ef是bd的垂直平分線，
∴eb=ed，∠ebd=∠edb.
又∵∠ebd= ∠fbd，
∴∠fbd=∠edb，ed∥bf. 同理，df∥be，
∴四邊形bfde是平行四邊形.
又∵eb=ed，
∴四邊形bfde是菱形.
3、在口abcd中，對角線ac、bd相交於點o，bd=2ab，點e、f分別是oa、bc的中點．連線be、ef．
（1）求證：ef=bf；
（2）在上述條件下，若ac=bd，g是bd上一點，且bg：gd=3：1，連線eg、fg，試判斷四邊形ebfg的形狀，並證明你的結論．
【思路點撥】
（1）根據平行四邊形性質推出bd=2bo，推出ab=bo，根據三線合一定理得出be⊥ac，在△bec中，根據直角三角形斜邊上中線性質求出ef=bf=cf即可；
（2）根據矩形性質和已知求出g為od中點，根據三角形中位線求出eg∥ad，eg=bc，求出eg∥bc，eg=bc，求出bf=eg，bf∥eg，eg=gf，得出平行四邊形，根據菱形的判定推出即可．
【答案與解析】
（1）證明：∵四邊形abcd是平行四邊形，
∴bd=2bo，
∵bd=2ab，
∴ab=bo，
∵e為oa中點，
∴be⊥ac，
∴∠bec=90°，
∵f為bc中點，
∴ef=bf=cf，
即ef=bf；
（2）四邊形ebfg是菱形，
證明：連線cg，
∵四邊形abcd是平行四邊形，ac=bd，
∴四邊形abcd是矩形，
∴ad=bc，ab=cd，ad∥bc，bd=2bo=2od，
∴bd=2ab=2cd，
∴oc=cd，
∵bg：gd=3：1，ob=od，
∴g為od中點，
∴cg⊥od（三線合一定理），
即∠cgb=90°，
∵f為bc中點，
∴gf=bc=ad，
∵e為oa中點，g為od中點，
∴eg∥ad，eg=ad，
∴eg∥bc，eg=bc，
∵f為bc中點，
∴bf=bc，eg=gf，
即eg∥bf，eg=bf，
∴四邊形ebfg是平行四邊形，
∵eg=gf，
∴平行四邊形ebfg是菱形（有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形）．
【總結昇華】本題考查了平行四邊形的性質和判定，矩形性質，菱形性質，三角形的中位線，直角三角形斜邊上中線性質，等腰三角形的性質等知識點，主要考查學生綜合運用定理進行推理的能力，注意：直角三角形斜邊上中線等於斜邊的一半．
型別三、矩形
4、如圖，o是矩形abcd的對角線的交點，e、f、g、h分別是oa、ob、oc、od上的點，且ae＝bf＝cg＝dh．
（1）求證：四邊形efgh是矩形；
（2）若e、f、g、h分別是oa、ob、oc、od的中點，且dg⊥ac，of＝2，求矩形abcd的面積．
【答案與解析】
（1）證明：∵四邊形abcd是矩形，
∴oa＝0b＝oc＝od，
∵ae＝bf＝cg＝dh，
∴ao－ae＝ob－bf＝co－cg＝do－dh，
即：oe＝of＝og＝oh，
∴四邊形efgh是矩形；
（2）解：∵g是oc的中點，
∴go＝gc，
∵dg⊥ac，
∴∠dgo＝∠dgc＝90°，
又∵dg＝dg，
∴△dgc≌△dgo，
∴cd＝od，
∵f是bo中點，of＝2，
∴bo＝4，
∵四邊形abcd是矩形，
∴do＝bo＝4，
∴dc＝4，db＝8，
∴cb＝，
∴矩形abcd的面積＝4×．
【總結昇華】本題主要考查矩形的判定，首先要判定四邊形是平行四邊形，然後證明對角線相等．
舉一反三：
【變式】如圖，o為△abc內一點，把ab、ob、oc、ac的中點d、e、f、g依次連線形成四邊形defg．
（1）四邊形defg是什麼四邊形，請說明理由；
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