一元二次方程及解法經典習題及解析
知識技能:
一、填空題:
1.下列方程中是一元二次方程的序號是
◆答案:
◆解析:判斷乙個方程是否是一元二次方程,要根據一元二次方程的定義,看是否同時符合條件
①含有乙個未知數;②未知數的最高次數是整式方程.若同時符合這三個條件的就是一元
次方程,否則缺一不可.其中方程②含兩個未知數,不符合條件①;方程⑥不是整式方程,lil不符合條件③;方程⑦中未知數的最高次數是3次,不符合條件②;方程⑧經過整理後;次項消掉,也不符合條件②.
2.已知,關於2的方程是一元二次方程,則
◆答案:
◆解析:方程既然是一元二次方程,必符合一元二次方程的定義,所以未知數
的最高次數是2,因此,二次項係數故
3.當時,方程不是關於x的一元二次方程.
◆答案:
◆解析:方程不是關於2的一元二次方程,則二次項係數
故4.解一元二次方程的一般方法有
◆答案:直接開平方法;配方法;公式法;因式分解法
5.一元二次方程的求根公式為
◆答案:
◆解析:此題不可漏掉的條件.
6.(2004·瀋陽市)方程的根是
◆答案:
◆解析:所以
7.不解方程,判斷一元二次方程的根的情況是
◆答案:有兩個不相等的實數根
◆解析:原方程化為
.『.原方程有兩個不相等的實數根.
8.(2004·錦州市)若關於x的方程有實數根,則k的取值範圍是
◆答案:
◆解析:『..方程有實根,
9.已知:當時,方程有實數根.
◆答案:
◆解析:。.『方程有實數根.
10.關於x的方程的根的情況是 .
◆答案:無實根
◆解析:
原方程無實根.
二、選擇題:
11.(2004·北京市海淀區)若a的值使得成立,則a的值為( )
a.5 8.4 c.3 d.2
◆答案:c
◆解析: 的值使得
故c正確.
12.把方程化為後,a、b、c的值分別為( )
◆答案:c◆解析:方程化為故故c正確.
13.方程的解是( )
=土1◆答案:c
◆解析:運用因式分解法得故故c正確.
14.(2006·廣安市)關於x的一元二次方程有兩個不相等的實數根,則k的取值
範圍是( )
且◆答案:d
◆解析:由題意知解得且
15.(2006·廣州市)一元二次方程的兩個根分別為( )
◆答案:c
16.解方程
較簡便的方法是( )
a.依次為:開平方法、配方法、公式法、因式分解法
b.依次為:因式分解法、公式法、配方法、直接開平方法
用直接開平方法,用公式法,③用因式分解法
用直接開平方法,②用公式法,用因式分解法
◆答案:d
17.(2004·雲南省)用配方法解一元二次方程則方程可變形為( )
◆答案:b
18.一元二次方程有兩個不相等的實數根,則k的取值範圍是( )
且且◆答案:b
◆解析:『.『方程有兩個不相等的實根
(1且故b正確.
19.下列方程中有兩個相等的實數根的方程是( )
◆答案:a
◆解析:只有a的判別式的值為零,故a正確.
20.(2004·大連市)一元二次方程的根的情況是( )
a.有乙個實數根b.有兩個相等的實數根
c.有兩個不相等的實數根 d.沒有實數根
◆答案:d
◆解析:方程沒有實數根,故d正確
21.下列命題正確的是( )
只有乙個實根有兩個不等的實根
c.方程有兩個相等的實根 d.方程無實根
◆答案:d
◆解析:a有兩根為有一根為有兩根為故d正確.
三、解答題:
22.(2006·浙江省)解方程
◆解:23.用因式分解法解方程:
◆解:(1)原方程化為
(3)原方程化為
24.解關於2的方程:
◆解析:解字母係數的一元二次方程時要注意區別字母係數與未知數;方程兩邊同時除以含字母
的代數式時,要考慮到分母不為零的條件,以保證除法有意義.
◆解:(1)原方程整理為或
(2)原方程化為或
25.不解方程,判別下列方程根的情況.
◆解:(1)原方程可化為
原方程有不相等兩實根;
原方程有不相等兩實根;
原方程有相等兩實根;
(4)原方程化為:
原方程無實根.
26.已知關於z的方程當k為何值時,
(1)方程有兩個不相等的實數根?
(2)方程有兩個相等的實數根?
(3)方程無實根?
◆解:當b2時,
當b2時,
當b2時,
當時,原方程有兩個不相等的實數根;
當時,原方程有兩個相等的實數根;
當時,原方程無實根.
27.已知:無實根,且a是實數,化簡
◆解:方程無實根
即解得當時,
28.k取何值時,方程有兩個相等的實數根?並求出這時方程的根.
◆解:根據題意,得
.當或時,原方程有兩個相等的實數根.
當時,方程為:
當時,方程為:
29.求證:關於2的方程有兩個不相等的實數根.
◆證明:
原方程有兩個不相等的實數根.
30.求證:無論k為何值,方程都沒有實數根.
◆證明:
所以無論k為何值,方程都沒有實數根.
31.當是實數時,求證:方程必有兩個實數根,並求兩根相等的
條件.◆證明:
.『.方程必有兩個實數根,
當方程兩根相等時, 且且
.。.原方程兩根相等的條件是且
32.如果關於z的一元二次方程沒有實數根,求m的最小整數值.
◆解:原方程整理,得
『.。原方程無實數根
且的最小整數值為2.
綜合運用:
一、填空題:
33.方程是關於x的一元二次方程,則
◆答案:一3;1
◆解析:根據一元二次方程的定義可知:故且故
34.關於z的方程
(1)當時,這個方程是一元二次方程;
(2)當時,這個方程是一元一次方程.
◆答案:
◆解析:(1)原方程化為一般形式為當二次項係數時,
這個方程是一元二次方程,故
(2)當二次項係數時,此時二次項係數為零,而一次項係數恰好不為零,故
時這個方程是一元一次方程.
35.已知方程的根是則
◆答案:
◆解析:因為是方程的根,所以應適合於方程,把
代入方程得到關於k的一元一次方程,解得
二、選擇題:
36.(2004·郴州市)方程的左邊配成完全平方後所得方程為( )
d.以上答案都不對
◆答案:a
37.已知:關於2的方程有兩個實數根,則m的範圍為( )
且◆答案:b
◆解析:『..方程有兩個實根.
一4mf 9解得且故b正確.
注意:不能丟掉的隱含條件.
38.已知a、b、c是的三條邊,且方程有兩個相等實數根,那
麼,這個三角形是( )
a.等邊三角形 b.等腰三角形
c.直角三角形 d.等腰直角三角形
◆答案b
◆解析:根據題意,得
或或故b正確.
注意:與之間是「或者」關係,不是「並且」關係,所以不能得到
39.(2004·海南省)已知關於2的方程有兩個不相等的實數根,那麼m的
最大整數值是( )
◆答案:c
◆解析:。.『方程有兩個不相等的實數根.
的最大整數值是0,故c正確.
三、解答題:
40.用因式分解法解下列方程:
◆解析:此題要注意運用換元的思想.
◆解:或解得
或解得:
或解得:
或解得:
41.解方程
◆解析:解含未知數絕對值的方程一般有兩種思路:一是設法填絕對值符號,把原方程化為關於
的一元二次方程,先求的值,再進一步求2的值;二是設法脫去絕對值符號,把原方程
化為關於z的一元二次方程,脫去絕對值符號的方法是要對2分類討論.
◆解法原方程可化為:
一±l或
◆解法二:當時,原方程左右兩邊的值不相等當時,原方程可化為
當時,原方程化為
42.(1)已知方程求證:或
(2)已知方程求證:或
◆證明:(1)原方程化為==+或
(2)原方程化為或
43.m為何值時,方程有兩個不相等的實數根?
◆解析:注意不可漏掉隱含條件
◆解:當且時,方程
有兩個不相等的實數根.
44.已知方程有實根,求m的取值範圍.
◆解析:注意討論一元一次方程和一元二次方程兩種情況.
◆解:根據題意得①當時即原方程為
②當時即有
的取值範圍是
45.若關於2的方程有兩個不相等的實數根,試化簡代數式
◆解析:注意負數的絕對值等於其相反數,當時,一31等於
◆解:當時原式
46、當m是什麼整數時,與的根都是整數?
◆解:。..一元二次方程有整數根
①又。.。方程有整數根
由得:為整數
當時,方程的二次項係數為零,不合題意,捨去;
當時,方程為其根為
方程為其根為
當時,方程為其根不是整數;
.『.當時,關於2的一元二次方程與方程
的根都是整數.
47.求方程的實數解.
◆解:把原方程整理成關於2的二次方程,得
因為此方程有實數解,所以
又當時,原方程化為
...原方程的實數解為
48.設a、6、c為三角形的三條邊長.求證:方程無實根.
◆證明:
是三角形的三條邊,
原方程無實根.
49.若方程有兩個相等的實數根,且a、b、c是
的三條邊,求證:是等腰三角形.
◆證明:
是的三條邊
只能是等腰三角形.
50.設m、k為有理數,當k為何值時,關於z的方程
的根為有理數?
◆解:把原方程化為
要使方程的根為有理數,其判別式應為完全平方式,即關於m的二次三項式
所對應的方程有等根.因此它的判別式
即.』.當時,方程的根為有理數.
51、已知關於x的一元二次方程
(1)求證:方程有兩個不相等的實數根;
(2)設方程的兩根分別為z,,x。,且滿足求k的值
◆證明:又
.』.原方程有兩個不相等的實數根;
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