通過新增輔助線構造全等三角形轉移線段到乙個三角形中證明線段相等。
1．如圖所示，ad是△abc的中線，be交ac於e，交ad於f，且ae=ef。
求證：ac=bf。
分析：本題是證明線段相等的問題。要證明兩條線段相等有如下方法：
①如果兩條線段在同一三角形中，只需證明此三角形為等腰三角形。②等量代換法③構造全等三角形，這一方法是最常用的方法。下面我們來分析這道題，欲證ac=bf，只須證ac、bf所在兩個三角形全等，顯然圖中沒有含有ac、bf的兩個全等三角形圖形，而根據題目條件的去構造兩個含有ac、bf的全等三角形也並不容易。
這時我們想到在同乙個三角形中等角對等邊，能夠把這兩條線段轉移到同乙個三角形中，只要說明轉移到同乙個三角形以後的這兩條線段，所對的角相等即可。
思路一、以三角形adc為基礎三角形，轉移線段ac，使ac、bf在三角形bfh中
法一：延長ad到h，使得dh=ad，鏈結bh，證明△adc和△hdb全等，得ac=bh。
通過證明∠h=∠bfh，得到bf=bh。
證明：延長ad到h，使得dh=ad，鏈結bh
∵ d為bc中點
∴ bd=dc
在△adc和△hdb中
adc≌△hdb(sas)
∴ ac=bh, ∠h=∠hac
∵ ea=ef
∴ ∠hae=∠afe
又∵ ∠bfh=∠afe
∴ bh=bf
∴ bf=ac
法二：過b點作bh平行ac與ad的延長線相交於點h，證明△adc和△hdb全等。
小結：對於含有中點的問題，通過「倍長中線」得到可以兩個全等三角形。而過一點作己知直線的平行線，可以起到轉移角的作用，也起到了構造全等三角形的作用。
思路二、以三角形bfd為基礎三角形。轉移線段ac，使ac、bf在兩個全等三角形中
法三：延長fd至h，使得dh=fd，鏈結hc。證明△cdh和△bdf全等。
證明：延長fd至h，使得dh=fd，鏈結hc。
∵ d為bc中點
∴ bd=cd
在△bfd和△chd中
∴ △bfd≌△chd(sas)
∴ ∠h=∠bfh
∵ ae=fe
∴ ∠hac=∠afe
又∵ ∠afe=∠bfh
∴ ∠h=∠hac
∴ ch=ca
∴ bf=ac
法四：過c點作ch平行bf與ad的延長線相交於點h，證明△cdh和△bdf全等。
小結：通過一題多種輔助線的新增方法，體會新增輔助線的目的在於構造全等三角形。而不同的新增方法實際是從不同途徑來實現線段的轉移體會構造的全等三角形在轉移線段中的作用。
從變換的觀點可以看到，不論是作平行線還是倍長中線，實質都是對三角形作了乙個以中點為旋轉中心的旋轉變換構造了全等。
熟悉法一、法三「倍長中線」的輔助線包含的基本圖形「八字型」和「倍長中線」兩種基本操作方法，倍長中線，或者倍長過中點的一條線段以後的對於解決含有過中點線段有很好的效果。
拓展：如圖所示，ad是△abc的中線，be交ac於e，交ad於f，且ac=bf。
求證：ae=ef。
分析：調換己知和求證的順序是幾何中提出新問題的一種常規做法。我們調換了例2的部分已知條件和結論的順序提出新的問題，在解決新的問題中又鞏固了上述新增輔助線的基本作法。
上述四種方法仍然可以適用。
求證：be=cf．
分析：練習(1)鞏固例2中典型輔助線的作法，練習(2)鞏固例2拓展的調換部分條件和結論提出問題的方法。
證明：輔助線已作出，證明略
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