一、知識結構：（右圖）
二、基本知識點：
概念是數學理論的基礎、概念性強是中學數學中函式理論的乙個顯著特徵，函式三要素；反函式；函式的單調性，最大（小）值等是函式有關概念的重要內容
1 對映的定義（1）對映f:a→b說的是兩個集合a與b間的一種對應，兩個集合是有序
（2）對映必須是「多對一」或「一對一」的對應，即允許集合a中不同元素在集合b中有相同的象，但不要求b中的元素在a中都有原象，有原象也不要求惟一，象集可以是b的真子集
（3）對映所涉及兩個集合a、b(均非空)，可以是數集，也可以是點集或其他類元素構成的集合.
2 函式的概念（1）函式是一種特殊的對應，它要求是兩個集合必須是非空數集；函式是「y是x的函式」這句話的數學表示，其中x是自變數，y是自變數x的函式，f是表示對應法則，它可以是乙個解析式，也可以是**或圖象，也有的只能用文字語言敘述.（2）函式三要素是定義域，對應法則和值域，而定義域和對應法則是起決定作用的要素，因為這二者確定後，值域也就相應得到確定，因此只有定義域和對應法則二者完全相同的函式才是同一函式.（3）確定函式定義域是函式這部分所涉及的重要問題之一，應會求各種函式的定義域，若為實際問題還應注意實際問題有意義
3 函式的單調性（1）它是乙個區間概念，即函式的單調性是針對定義域內的區間而言的，談到函式的單調性必須指明區間（可以是定義域，也可以是定義域內某個區間），例如函式y=在（-∞,0）上是減函式，在（0，+∞）上也是減函式，但決不能講函式y=是減函式（2）用函式單調性定義來確定函式在某區間是增函式還是減函式的一般方法步驟是：取值作差化積定號（3）由函式單調性的定義知，當自變數由小到大，函式值也由小到大，則為增函式，反之，為減函式；由函式圖象的走向十分直觀反映函式變化趨勢，當函式的圖象（曲線）從左到右是逐漸上公升的，它是增函式，反之為減函式
4 反函式（1）對於任意乙個函式不一定有反函式，如果有反函式，那麼原函式與它的反函式是互為反函式.（2）原函式的定義域是反函式的值域，原函式的值域是反函式的定義域，在求反函式時，應先確定原函式的值域.（3）求反函式的步驟是「一解」「二換」.
所謂一解，即是首先由給出原函式的解析式，反解出用y表示x的式子；二換，即是將中的x,y兩個字母互換，得到即為所求的反函式（即先解後換）（4）在同一直角座標系中，函式與是表示同一圖象，與的圖象關於直線y=x對稱（5）一般的偶函式不存在反函式，奇函式不一定存在反函式.（6）原函式與其反函式在其對稱區間上的單調性是一致的
5的圖象和性質； 的圖象和性質
6．方法總結⑴相同函式的判定方法：定義域相同且對應法則相同
⑵函式表示式的求法：①定義法；②換元法；③待定係數法
⑶反函式的求法：遞解x,互換x、y，註明反函式的定義域(即原函式的值域).
⑷函式的定義域的求法：布列使函式有意義的自變數的不等關係式，求解即可求得函式的定義域常涉及到的依據為①分母不為0；②偶次根式中被開方數不小於0；③對數的真數大於0，底數大於零且不等於1；④零指數冪的底數不等於零；⑤實際問題要考慮實際意義等
⑸函式值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判別式法；③反函式法；④換元法；⑤不等式法；⑥函式的單調性法 ⑹單調性的判定法：①設x,x是所研究區間內任兩個自變數，且x＜x；②判定f(x)與f(x)的大小；③作差比較(或作商比較)
⑺奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關於原點對稱，再計算f(-x)與f(x)之間的關係：①f(-x)=f(x)為偶函式；f(-x)=-f(x)為奇函式；②f(-x)-f(x)=0為偶；f(x)+f(-x)=0為奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1為奇函式
⑻圖象的作法與平移：①據函式表示式，列表、描點、連光滑曲線；②利用熟知函式的圖象的平移、翻轉、伸縮變換；③利用反函式的圖象與對稱性描繪函式圖象
⑼解決函式應用問題的一般程式是：①審題：弄清題意、分清條件和結論、理順數量關係；②建模：
將文字語言轉化成數學語言，利用相應的數學知識模型.③求模：求解數學模型，得到數學結論
④還原：將用數學方法得到的結論，還原為實際問題的意義
三、鞏固訓練（2023年高考試題）
廣東卷16. 函式的反函式
全國卷三理⑸ 函式的定義域是( )
a.[-,-1) (1,] b.(-,-1) (1,) c.[-2,-1) (1,2] d.(-2,-1) (1,2)
全國卷三理⑾設函式，則使得f(x) 1的自變數x的取值範圍為( )
a.(-∞,-2] [0,10] b.(-∞,-2] [0,1c.(-∞,-2] [1,10] d.[-2,0] [1,10]
3．（2023年全國三理⒂）已知函式是奇函式，當時,，設的反函式是y=g(x)，則g(-8)=__.( -3)
全國三文(3) 記函式的反函式為，則（ ）a. 2 b. c. 3 d.
全國卷四文理2．函式的反函式為（ ）
a． b． c． d．
全國卷四理12．設函式為奇函式，則（ ）
a．0 b．1 c． d．5
全國卷四文5．為了得到函式的圖象，可以把函式的圖象 （ ）a．向左平移3個單位長度b．向右平移3個單位長度c．向左平移1個單位長度d．向右平移1個單位長度
全國卷四文7．已知函式的圖象有公共點a，且點a的橫座標為2，則（ ）
a． b． c． d．
天津卷理5文6. 若函式在區間上的最大值是最小值的3倍，則a=（ ） a. b. c. d.
浙江卷文理（12）若和g(x)都是定義在實數集r上的函式，且方程有實數解，則不可能是（ ）（a） （b） （c） （d）
浙江卷理（13）已知則不等式≤5的解集是
浙江卷文（13）已知則不等式的解集是
北京理（5）文（7）函式在區間［1，2］上存在反函式的充分必要條件是（ ）
a. b. c. d.
北京理（13）在函式中，若a，b，c成等比數列且，則有最______值（填「大」或「小」），且該值為______(大 , -3)
福建卷文理7．已知函式y=log2x的反函式是y=f—1(x)，則函式y= f—1(1－x)的圖象是 （ c ）
福建卷文14．設函式則實數a的取值範圍是
湖北卷理3．已知的解析式可取為（ ）
a． b． c． d．
湖北卷理7．函式上的最大值和最小值之和為a，則a的值為（ ）
a． b． c．2 d．4
湖北卷理9．函式有極值的充要條件是a． b． c． d．
湖北卷文5．若函式、三、四象限，則一定有（ ） a． b． c． d．
湖北文8．已知有a．最大值b．最小值c．最大值1 d．最小值1
湖南卷理3．設是函式的反函式，若，則的值為（ ）a．1 b．2 c．3 d．
湖南卷理6．設函式則關於x的方程
解的個數為a．1 b．2 c．3 d．4
湖南卷文1．函式的定義域為
a． b． c． d．
湖南卷文3．設是函式f(x)=的反函式，則下列不等式中恆成立的是
a． b． c． d．
湖南卷文7．若f(x)=-x2+2ax與在區間[1,2]上都是減函式，則a的值範圍是（ ）
a． b． c．（0，1） d．
浙江卷8.若函式的圖象過兩點(-1，0)和(0，1)，則
(a)a=2,b=2 (b)a=,b=2 (c)a=2,b=1 (d)a=,b=
3．（2023年高考上海卷第5題）設奇函式的定義域為[-5,5].若當x∈[0,5]時,的圖象如圖,則不等式<0的解是 . (－2,0)∪(2,5]
天津卷理11. 函式（）的反函式是（ ）a.
b. c. d.
天津卷文9. 函式的反函式是a. b. c. d.
高中數學知識點總結第二章函式
考試內容 數學探索版權所有對映 函式 函式的單調性 奇偶性 數學探索版權所有反函式 互為反函式的函式影象間的關係 數學探索版權所有指數概念的擴充 有理指數冪的運算性質 指數函式 數學探索版權所有對數 對數的運算性質 對數函式 數學探索版權所有函式的應用 數學探索版權所有考試要求 數學探索版權所有了解...
第二章高中數學第二章《平面向量》知識點精華集錦
第二章平面向量 1 向量 既有大小，又有方向的量.數量 只有大小，沒有方向的量 有向線段的三要素 起點 方向 長度 零向量 長度 模 為的向量，零向量與任一向量平行 注意 向量可以用有向線段表示，但是向量不是有向線段.單位向量 長度 模 等於個單位的向量 平行向量 共線向量 方向相同 或相反的非零向...
高中數學必修3知識點總結第二章統計
兩種方法 1 先以分層變數將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。2 先以分層變數將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最後用系統抽樣的方法抽取樣本。2 分層抽樣是把異質性較強的總體分成乙個個同質性較強的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的...