1. 兩個人沿著運動著的電動扶梯住下跑,第一人的速度為u，第二人速度為nu，第一人計算梯子有a級，第二人計算梯子有b級．試計算公升降梯的級數n和速度v。
［解］設電梯每階長度為δl,電梯的級數為n,電梯的速度為v.
第乙個人相對地面的速度為u-v,第二個人相對地面的速度為nu-v 則:
①②聯立可得:
2．如圖2—18所示：一**以恆定速度v1由a位置駛出，同一時刻，另一汽艇以恆定速度v2由b位置駛出．已知ab＝l且**的速度v1的方向與ab連線成90-的夾角，要使**與汽艇相遇，問汽艇的速度v2的方向與ab所成的夾角β應多大?它們從a,b開出後經多長時間相遇?
［解析］此題可以用向量來求．要使兩船相遇，只要使v1相對v2的向量與ab連線平行．也就是要求v1、v2在垂直ab連線方向上的分量相等即可。
［解］設v1相對v2的速度為v3，開出後經t後兩船相遇．如解圖2-2所示,速度向量構成的三解形與δabc相似．v3與ab連線平行.則
應用正弦定理可以得出:
①由①式可以得出:
②則相與的時間為
3．小孩游泳的速度是河水速度的，河寬d＝100m．問小孩應沿什麼方向遊向對岸，才能使他被河水衝行的距離最短?這最短的距離是多少?
[解析]要使小孩被河水衝行的距離最短,只要小孩實際運動的位移方向與河岸垂線方向的夾角最小即可.
［解］設小孩相對靜水的速度為v孩，水的速度為v水，小孩相對岸的速度為v實．由解圖2-3所示可知：實際運動的方向與河岸垂線方向所成的最小夾角為α=60°，此時小孩實際的運動方與小孩相對水的速度垂直．
設：到達對岸時，被下衝的距離為l：則：
可得l=173.2m
4．如圖2—19所示：—條船平行於平直海岸線航行，船離岸的距離為d，船速為v0一艘速率為v(v (1)證明：小艇必須在這條船駛過海岸線的某一特定點a之前出發，這點在港口後邊處．
(2)如果快艇在盡可能遲的瞬間出發，它在什麼地方和什麼時候截住這條船？
[解析] 如解圖2-4所示：兩船相遇，須使船相對小艇的速度的方向與b和港口的連線平行．由速度向量構成的三角形關係中可以看出．在v和v′垂直時，α最大．如果船過了b點，則v′就不可能與bo連線平行
［解］(1) 設a到港口的距離為l，則： ①
由速度向量構成的三角形中可以看出： ② 將②代入①可得：
(2)前面分析的情況即為小艇最遲出發時的情況。由v、v0、和v構成的三角形與b、c和港口構成的三角形相似。設相遇點港口的距離為l，則： 得
相遇時間為
5．甲、乙兩船，甲在某島b正南a處，且ab=10km．甲船自a處以4的速度向正北方向航行．同時乙船以的速度自島b出發向島的北偏西60°方向駛去．問：幾分鐘後兩船相距最近?
［解析］由解圖2-5可知，當甲乙兩船發生的相對位移方向與兩船的連線方向垂直時，兩船相距最近。設出發後經時間t兩船距離最近。
由餘弦定理，乙船相對甲船的相對速度。km/h
解速度向量構成的三角形可得：
由於。6．攝影師到鐵路的距離為l，現欲拍攝以速度v行駛著的火車頭的像，拍照時從攝影師到火車頭的視線與鐵路的夾角為α，設相機物鏡的焦距為f．在底片上所容許的模糊距離(即在底片上像運動的距離)不能超過d，求**時間的最大值tmax。
［解析］此題結合了透鏡成像和運動的合成分解的知識。必須要掌握透鏡成像的放大率公式。 由此得到放大率的公式為
[解]如圖:當車頭在a點時,在膠片上形成像點a,當到達b點時,形成b像點.∽
③由成像公式 ④
由①②③④可得: ⑤
又因為物距
由⑤⑥⑦得:
7.在—列向東前進,速率為v0的火車上，旅行者觀察到雨滴迎面而來，與豎直方向夾角為α；一輛以同樣速率向西行駛的火車上，旅行者看到雨滴也是迎面而來，與豎直方向夾角為；設雨滴在近地面時以勻速下落，且不考慮雨滴下落的南北偏向．求雨滴在近地面處下落的速度大小和方向．
［解析］本題應充分利用向量的合成法則。以速度為例。vab+vbc=vac (該表達試可以推廣為多個參照物情況下)。
本題中的雨對人的運動可以進行如下分解：v雨人＝v雨地＋v地人。是人向東運動時情況；解圖2-7-２是人向西運動時情況（其餘的情況都可以概括為上圖所示的兩種情況）。
［解］設雨滴在近地面下落時與豎直方向的夾角為，速率為v，則：
由解圖2-7-1得： ①
由解圖2-7-2得
聯立①②兩式可得：
； 8.如圖2—20所示，在某鉛直平面內有一光滑的直角三角形細管軌道，，設ab為鉛直軌道，轉彎處速度大小不變，轉彎時間忽略不計，在此直角三角形範圍內可構建一系列如圖2一19所示的光滑軌道。每一軌道由鉛直和水平部分構成．各轉彎處性質都和b點相同，各軌道均從a點出發到c點終止，且不越出△abc的範圍，試求小球在各條軌道中，由靜止出發自由地從a到c所需要的時間的上限與下限之比值．
[解析]本題可以設想兩種極端情形，一種情形是：如果在ac間構建無數個光滑軌道。到達完成第乙個軌道鉛直部分末端時，獲得速度, 但由於軌道很短，此速度接近0，而小球又以此速度在第一軌道的水平部分做勻速運動。
而後又以此速度為初速度在第二軌道的豎直部分上做落體運動。到達第二軌道豎直部分末端時的速度可以設為v,小球接著以速度v在第二軌道的水平部分上做勻速直線運動．．．．．．。如果把小球在所有軌道的豎直部分的運動全部累加就會得到乙個完速的自由落體運動，下落高度為三角形的豎直高度．而把小球在所有軌道的水平部分的運動全部累加，可以看作是初速度為0的勻加速直線運動。
其末速度為小球在豎直方向做自由落體到達底端時的速度。
另一種情形是：若小球從a自由落體到b，然後以到達b點時的速度沿bc做勻速直線運動。
比較以上兩種情形可以發現，這兩種情形在豎直方向上的運動都是自由落體運動。而水平方向上的運動卻不同，第一情形是初速度為0的勻加速直線運動。第二情形下，在水平方向上卻是以自由落體到達b點時的速度做勻速直線運動。
所以，第一情形a到c所需時間最長,而第二情形a到c所需時間最短。
［解］設為α，設ac長為l，從a到c的時間為t
根據題意可以得出： ①
由①②可以得出
由③可設ab長為4a,bc長為3a,ac長為5a,設小球落體到達b時的速度為v.從a到c的最長時間為tmax,最短時間為tmin 則:
9. 如圖2—21所示：一平面內有二根細桿l1，和l2，各自以垂直於自己的速度v1和v2在該平面內運動，試求交點相對於該平面的速率及交點相對於每根桿的速率．
[解析]本題更好的思路是先求交點相對一根桿子的速率。在此我們可以先求交點相對於l1的速率v1。此速率是由l2相對於l1發生運動引起的。v= v1+v1
[解]由解圖2-9-1可以看出l2相對於l1的速度v在垂直於l1方向上的速度分量為v"=。該問題就可以轉化為l1不動，而l2相對於l1以速度v"運動。求交點相對於l1的速度。
由解圖2-9-2可以看出，交點相對於l1的速率同理可得：
交點相對平面的速率：
10.如圖2—22所示：系統中a1、a2兩物體均有向下的速度va，吊住b物體的兩根繩與豎直方向的夾角都是α，試求b物體上公升的速度vb。
[解析]由於兩側的運動完全相同，所以只要研究其中一側的運動情況即可。
[解]如解圖2-10所示。
注意: b實際發生的運動為合運動，b沿繩子的運動分量等於va
11．如圖2—23所示，杆ab以等角速度ω繞a點轉動，並帶水平杆oc上的質點m運動．設起始時刻杆ab在豎直位置(oa=h)。
(1)列出質點m沿水平杆oc的運動方程。
(2)求質點m沿杆oc滑動的速度。[解] (1)只要寫出x與時間t的關係即可：
(2)由解圖2-11,設ma為l
12．如圖2—24，半徑為r的半圓凸輪以等速v0沿水平面向右運動，帶動從動杆ab沿豎直方向上公升，o為凸輪圓心，p為其頂點．求當時，ab杆的速度．
[解析]半圓球相對地面的運動方向向右，棒相對地面豎直向上運動，棒相對半球的運動方向過ｍ與半球相切。如解圖2-12所示。
［解］設棒的速度為ｖ。
棒相對半球的運動方向ｖ是過ｍ點的半球的切線方向。由圖示可知
13.如圖2—25所示，乙個半徑為r的軸環o1立在水平面上，另乙個同樣的軸o2以速度v從這個軸環旁邊滑過，試求兩軸環上部交叉點a的速度va與兩軸環中心之距離d的關係，軸環很薄，且第二個軸環緊靠第乙個軸環滑過．
[解析]對本題而言，分解時可以引入圓心o2交點對參照系，a相對圓環o1的運動方向va可分解為a相對圓心o2的速度v和圓心o2相對於圓心o1的速度v
即有［解］由於兩圓環是相同的圓環，所以交點相對兩環的速度大小相等。即由v、v和va構成的三角形為等腰三角形。由幾何關係可以得出：va與豎直方向的夾角θ等於
②由①②兩式可以得出
14，如圖2—26所示，一光滑斜面與水平面的仰角為β，在斜面與水平面交界線上的ｏ點處，以初速度v0沿斜面射出一質點，v0與的夾角為a，求:
(1)質點的運動方程；
(2)質點的運動軌跡；
(3)質點丟擲後與相交所經歷的時間及在水平方向的位移。
[解析]質點在x0y平面內做一類斜上拋運動，只是其加速度不是重力加速度g,而是重力加速度的沿斜面向上的分量，其大小為gsinβ。
[解](1)質點在x0y平面內,在ox方向上為勻速直線運動.在oy方向上為一類上拋運動.其運動的引數方程為:
(2)將引數方程中的時間變數t消去,即可得運動軌跡方程.
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