數列知識精要
數列[數列的通項公式] [數列的前n項和]
等差數列
[等差數列的概念]
[定義]如果乙個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差等於同乙個常數,那麼這個數列就叫做等差數列,這個常數叫做等差數列的公差,公差通常用字母d表示。
[等差數列的判定方法]
1. 定義法:對於數列,若(常數),則數列是等差數列。
2.等差中項:對於數列,若,則數列是等差數列。
[等差數列的通項公式]
如果等差數列的首項是,公差是,則等差數列的通項為。
[說明]該公式整理後是關於n的一次函式。
[等差數列的前n項和] 1. 2.
[說明]對於公式2整理後是關於n的沒有常數項的二次函式。
[等差中項]
如果,,成等差數列,那麼叫做與的等差中項。即:或
[說明]:在乙個等差數列中,從第2項起,每一項(有窮等差數列的末項除外)都是它的前一項與後一項的等差中項;事實上等差數列中某一項是與其等距離的前後兩項的等差中項。
[等差數列的性質]
1.等差數列任意兩項間的關係:如果是等差數列的第項,是等差數列的第項,且,公差為,則有
2. 對於等差數列,若,則。
也就是:,如圖所示:
3.若數列是等差數列,是其前n項的和,,那麼,,成等差數列。如下圖所示:
4.設數列是等差數列,是奇數項的和,是偶數項項的和,是前n項的和,則有如下性質:
前n項的和
當n為偶數時,,其中d為公差;
當n為奇數時,則,,,,(其中是等差數列的中間一項)。
5.若等差數列的前項的和為,等差數列的前項的和為,
則。等比數列
[等比數列的概念]
[定義]如果乙個數列從第2項起,每一項與它的前一項的比等於同乙個常數,那麼這個數列就叫做等比數列,這個常數叫做等比數列的公比,公比通常用字母q表示()。
[等比中項]
如果在與之間插入乙個數,使,,成等比數列,那麼叫做與的等比中項。
也就是,如果是的等比中項,那麼,即。
[等比數列的判定方法]
1. 定義法:對於數列,若,則數列是等比數列。
2.等比中項:對於數列,若,則數列是等比數列。
[等比數列的通項公式]
如果等比數列的首項是,公比是,則等比數列的通項為。
[等比數列的前n項和]
當時,[等比數列的性質]
1.等比數列任意兩項間的關係:如果是等比數列的第項,是等差數列的第項,且,公比為,則有
3. 對於等比數列,若,則
也就是:。如圖所示:
4.若數列是等比數列,是其前n項的和,,那麼,,成等比數列。如下圖所示:
[練習]
1.數列中,,,若是等差數列,則若是等比數列,則
2.在等差數列中,若,則 ;
3.兩個等差數列,它們的前n項和之比為,則它們的第9項之比為
4.等差數列的公差為,且,則 ;
5.項數為奇數的等差數列,奇數項之和為44,偶數項之和為33,求此數列的中間項;6.
第三章數列複習知識表
數列知識精要 數列 數列的通項公式 數列的前n項和 等差數列 等差數列的概念 定義 如果乙個數列從第2項起,每一項與它的前一項的差等於同乙個常數,那麼這個數列就叫做等差數列,這個常數叫做等差數列的公差,公差通常用字母d表示。等差數列的判定方法 1 定義法 對於數列,若 常數 則數列是等差數列。2 等...
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