數列的基本性質
等差數列
1.等差數列的判定方法
(1)用定義:對任意的n,都有(d為常數)為等差數列
(2)(n)為等差數列
(3) =kn+b (k, b為常數)(即為關於n的一次函式) 為等差數列
2.常用性質
(1) 若數列,為等差數列,則數列, , , (k, b為非零常數)均為等差數列.
(2) 對任何m,n,在等差數列中,有,特別的,當m=1時,便得到等差數列的通項公式.因此,此公式比等差數列的通項公式更具有一般性.另外可得公差d=,或d=
(3) 若m+n=p+q (m, n, p, q),則=.特別的,當n+m=2k時,得=
(4) 是有窮等差數列,則與首末兩項等距離的兩項之和都相等,且等於首末兩項之和,即。
(5) 在等差數列中,每隔k(k)項取出一項,按原來的順序排列,所得的數列仍為等差數列,且公差為(k+1)d(例如:,,, 仍為公差為3d的等差數列)
(6) 如果是等差數列,公差為d,那麼,, ,也是等差數列,其公差為.
(7) 若數列為等差數列,則記,,,仍成等差數列,且公差為d
3.等差數列前n項和公式比較
(1)公式,適用範圍:用於已知等差數列首項和末項
(2)公式,適用範圍:用於已知等差數列首項和公差
常用的基本性質:
(1)在等差數列中,當項數為2n (n)時, , 當項數為2n -1(n)時,
(2).若等差數列,的前n項和為(n為奇數),則.或
(3)在等差數列中. =a, ,則,特別地, 當時, , 當=m, =n時
(4) 若為等差數列的前n項和,則數列也為等差數列.
(5) 記等差數列的前n項和為; 若》0,公差d<0,則當》0且,則最大,當》0, 且,則=最大. ②若<0,公差d>0,則當<0且,則最小,當<0, 且,則=最小
等比數列
1.等比數列的判定方法
(1)用定義:對任意的n,都有(q為常數)為等比數列
(2)(q0)(n)為等比數列
(3)(0)為等比數列
2.常用性質
(1).若數列,為等比數列,則數列, , , , (k 為非零常數) 均為等比數列.
(2) 對任何m,n,在等比數列中,有,特別的,當m=1時,便得到等比數列的通項公式.因此,此公式比等比數列的通項公式更具有一般性.
(3) 若m+n=p+q (m, n, p, q),則=.特別的,當n+m=2k時,得=
(4)是有窮等比數列,則與首末兩項等距離的兩項之積都相等,且等於首末兩項之積,即。
(5) 在等比數列中,每隔k(k)項取出一項,按原來的順序排列,所得的數列仍為等比數列,且公比為(例如:,,, 仍為公比的等比數列)
(6) 如果是等比數列,公比為q,那麼,, ,也是等比數列,其公比為
(8) 如果是各項均為正數的等比數列,則數列是公差為的等差數列
(9) ,
當q=1時,該數列為常數列(此時數列也為等差數列); 當q<0時,該數列為擺動數列.
3.等比數列前n項和公式
(1);
(2)基本性質:
(1) 在等比數列中,當項數為2n (n)時, ,.
(2) 若是公比為q的等比數列,則
(3) 若為等比數列,則數列,,,成等比數列,公比為. 另外, , ,公比為
通項公式的求法
(1) 觀察法:各項的規律明顯.
(2).公式法.利用等差數列或等比數列的通項公式.利用與的關係:
(3).迭加法.
(4). 迭積法.
數列前n項和()的求法
(1) 倒序相加法(參照等差數列前n項和公式的推導)
(2) 錯位相減法(參照等比數列前n項和公式的推導)
例1 求和:;
當;當 (1)
(2)(1)-(2)得
∴(3) 拆項法
例如:求數列的前n項和。
解:設數列的通項為an,前n項和為sn,則
當時,當時,(4) 裂項法
例如:求=
解析:由,令k=1,2,3, ,n可得
數列知識點總結
數列是高考試題中的重頭戲,每年的全國及各地的考題中必有涉及.從內容上看主要考查等差 比 數列的定義 通項 前項和公式 等差 比 數列的中項及數列的性質,佔分值約17分.因此學好數列這塊知識顯得尤為重要.為了讓學生更好地掌握數列,現將等差 比 數列的有關知識歸納總結如下.1.等差數列的定義與性質 定義...
數列知識點總結
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數列總結知識點
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