中學數學研究性學習課題指導
（供高一上學期選題參考）
廣州市番禺區教育局教研室嚴運華
一數列方面的應用
(1)購房貸款決策問題
（通過調查銀行利率，利稅及房價決定哪種方式購房划算）
(2) 斐波那契數列研究（從兔子的繁殖等實際問題建立遞推數列問題）
假定一對兔子每個乙個月生一對小兔，每對小兔在兩個月以後也逐月生一對小兔，如果不發生死亡，一對剛出身的小兔一年可以繁殖多少對兔子？
又如：上乙個n級台階，若每次可以上一級或兩級，求上法總數f(n).
一條直線將平面分成2個部分,兩條直線最多將平面分成4個部分,3條直線最多將平面分成多少部分?n條直線最多將平面分成多少部分?空間中的平面情況又如何?
二函式建模方面問題
乙個例子:某工廠今年1月、2月、3月生產某種產品的數量分別為1萬件，1.2萬件，1.
3萬件，為估測以後每月的產量，以這三個月的產品數量為依據，用乙個函式模擬該產品的月產量y與月份x的關係，模擬函式選用二次函式或函式（其中a,b,c為常數），已知4月份該產品的產量為1.37萬件，請問：用以上哪個函式作為模擬函式較好，說明理由？
（1） 對當地或國家近年來人口增長的情況調查，**今後人口數量，給**提出幾點建議。
（2） 建立「麥當勞」（或其它）商標的函式關係式（可用分段函式表示）
（3） 氣象學中的數學問題 （溫度、濕度、空氣汙染指數、臭氧層的變化）
（4） 當地耕地面積的變化情況，**今後的耕地面積。
（5） 研究某種傳染病的數學模型（參考文獻[1]）
三最優化問題
1. 無蓋盒子的最大容積問題
用一張邊長為a的正方形鐵皮，如何製作乙個無蓋長方體盒子,使其容積最大（學生沒有學習重要不等式，可以借助於計算器進行輔助解決）。
2. 零件**站(最省問題)
設在一條流水線上有5臺機器工作,我們要在流水線上設立乙個檢驗站,經檢驗合格後才能進行下一道工序,若5臺機器的工作效率相同,問檢驗台放在何處可使移動零件所走的距離之和最小?(所花的總費用最省) 如果是n臺呢?(可以用平面幾何知識,也可以建立函式關係式,作出圖象討論得出)若5臺機器的效率不同又如何呢?
3. 拍照取景角最大問題
在公路的一側從a至b有一排樓房，想在公路上的任何一處拍一張正面照，任何選擇公路上的點，使拍攝的一排樓房的取景最大(點a與點b與直線的各種位置關係討論)
類似問題 ：足球運動員在何處射門最好(不考慮其它因素)等
3.商品營銷策略問題:
(1)調查某種商品的銷量與它的利潤的關係,並決策如何可使其獲利最大?
(2)對報亭買報情況調查，（進價、售價，及賣不出去而退回每份賠錢多少），統計乙個月的銷售情況，問怎樣決策收益最大？
四純數學問題:
1.函式(為待定常數)的性質研究 (可利用幾何畫板結合研究)
2.若對任意的自變數x均有,其中c,則函式是週期函式,且週期為c. 研究函式的週期性及奇偶性間的關係：
若函式為偶函式,且還有一條對稱軸為,研究函式的週期性.一般地若函式有兩條對稱軸分別為,問是週期函式嗎?為什麼?
還有其他對稱軸嗎?能寫出來嗎?，若函式為奇函式,且還有一條對稱軸為,研究函式的週期性.
3.研究等「和」數列與等 「積」數列（其定義與等差、等比數列類似）的通項與性質。（參見文獻2）
4.用多種方法研究:首項為a，公差為d的等差數列前n項和何時有最大值或最小值，說明理由？
（可以結合幾何畫板畫出動態的等差通項曲線與求和曲線來研究，也可以從通項入手，也可以從前n項和關於n的二次函式的最值來研究）
參考文獻：
[1] 秋森著 《數學問題與模式探求》〉華東理工大學出版社
[2] 蘇州大學《中學數學月刊》2023年第8期
[3] 蘭永勝主編《數學思想方法與建模技巧》青島海洋大學出版社
[4] 戴再平主編《高中數學開放題集》
以上課題，僅供參考。其實同學們都可以尋找到研究課題，下面一段話也許會使你發現很多的數學問題。
處處留心皆數學
我們早晨起床刷牙用的牙膏，細心的同學會發現，牙膏的包裝有大有小。其**也不相同，你想過大小包裝與其**之間的關係嗎？除了牙膏以外，還有商品都有大小包裝之分，如餅乾、瓜子、食油等等。
你吃東西是，想過營養成份的搭配嗎？你在上課時，想過坐在什麼位置才能最清楚的看到黑板的問題嗎？你在坐公共汽車遇到堵車時，想到盡快消除堵車的方案與數學知識有關嗎？
你乘船逆流而上發現東西掉進水中順流而下時，想過假設將船掉頭去追，什麼時間能追上的問題嗎？你在自行車修理鋪裡看到師傅在滾珠軸承裝滾珠時，想過能裝多少個嗎？你在開燈關燈時，想過燈的位置與照明度的問題嗎？
你在開、關窗戶時，想過窗戶的面積與採光量的問題嗎？你在聽天氣預報、颱風警報、空氣質素狀況時想過他們是如何預報的嗎？烈日下，你想過遮陽棚搭建方式與遮擋太陽光線有關嗎？
平日作業、例題、習題及高考試題的推廣和變式你想過嗎？……
研究性學習課題研究方法
綜合實踐活動課程 一 課程內容 研究性學習 15個學分 社群服務 2個學分 社會實踐 6個學分 二 課程特點 1 整體性 綜合性 2 多元性 靈活性 3 自主性 性 合作性 4 實踐性 開放性 生成性 三 課程目標 1 培養求異思維，創新精神和實踐能力。2 學以致用 3 培養事實求是的科學態度和科學...
研究性學習課題開題報告
課題研究活動記錄 1 課題研究活動記錄 2 課題研究活動記錄 3 課題研究活動記錄 4 課題研究活動記錄 5 課題研究活動記錄 6 課題結題報告 課題研究自我總結 注 課題組成員就自己在課題研究過程中的參與情況，做了哪些工作，以及受到了什麼啟發，有什麼體會和感受做簡單總結。研究性學習課題評價表 時間...
英語研究性學習課題計畫
1 研究性學習課程目的 1 作為一門課程，問題 是研究性學習的載體，整個教學過程圍繞著問題的提出 尋找收集資料 分析研究問題 解決問題來組織學生進行學習活動。而英語學科教學是以教材為依據和載體，教學過程是圍繞完成教材所規定的目標而進行的教學活動的過程。在英語教學中往往以教師為主，知識 在教師那裡，教...