中考數學壓軸題彙編(1)
1、(安徽)按右圖所示的流程,輸入乙個資料x,根據y與x的關係式就輸出乙個資料y,這樣可以將一組資料變換成另一組新的資料,要使任意一組都在20~100(含20和100)之間的資料,變換成一組新資料後能滿足下列兩個要求:
(ⅰ)新資料都在60~100(含60和100)之間;
(ⅱ)新資料之間的大小關係與原資料之間的大小關係一致,即原資料大的對應的新資料也較大。
(1)若y與x的關係是y=x+p(100-x),請說明:當p=時,這種變換滿足上述兩個要求;
(2)若按關係式y=a(x-h)2+k (a>0)將資料進行變換,請寫出乙個滿足上述要求的這種關係式。(不要求對關係式符合題意作說明,但要寫出關係式得出的主要過程)
【解】(1)當p=時,y=x+,即y=。
∴y隨著x的增大而增大,即p=時,滿足條件(ⅱ)……3分
又當x=20時,y==100。而原資料都在20~100之間,所以新資料都在60~100之間,即滿足條件(ⅰ),綜上可知,當p=時,這種變換滿足要求;……6分
(2)本題是開放性問題,答案不唯一。若所給出的關係式滿足:(a)h≤20;(b)若x=20,100時,y的對應值m,n能落在60~100之間,則這樣的關係式都符合要求。
如取h=20,y=,……8分
∵a>0,∴當20≤x≤100時,y隨著x的增大…10分
令x=20,y=60,得k=60
令x=100,y=100,得a×802+k=100
由①②解得14分
2、(常州)已知與是反比例函式圖象上的兩個點.
(1)求的值;
(2)若點,則在反比例函式圖象上是否存在點,使得以四點為頂點的四邊形為梯形?若存在,求出點的座標;若不存在,請說明理由.
解:(1)由,得,因此. 2分
(2)如圖1,作軸,為垂足,則,,,因此.
由於點與點的橫座標相同,因此軸,從而.
當為底時,由於過點且平行於的直線與雙曲線只有乙個公共點,
故不符題意. 3分
當為底時,過點作的平行線,交雙曲線於點,
過點分別作軸,軸的平行線,交於點.
由於,設,則,,
由點,得點.
因此,解之得(捨去),因此點.
此時,與的長度不等,故四邊形是梯形. 5分
如圖2,當為底時,過點作的平行線,與雙曲線在第一象限內的交點為.
由於,因此,從而.作軸,為垂足,
則,設,則,
由點,得點,
因此.解之得(捨去),因此點.
此時,與的長度不相等,故四邊形是梯形. 7分
如圖3,當過點作的平行線,與雙曲線在第三象限內的交點為時,
同理可得,點,四邊形是梯形. 9分
綜上所述,函式圖象上存在點,使得以四點為頂點的四邊形為梯形,點的座標為:或或. 10分
3、(福建龍巖)如圖,拋物線經過的三個頂點,已知軸,點在軸上,點在軸上,且.
(1)求拋物線的對稱軸;
(2)寫出三點的座標並求拋物線的解析式;
(3)**:若點是拋物線對稱軸上且在軸下方的動點,是否存在是等腰三角形.若存在,求出所有符合條件的點座標;不存在,請說明理由.
解:(1)拋物線的對稱軸………2分
(25分
把點座標代入中,解得………6分
7分(3)存在符合條件的點共有3個.以下分三類情形探索.
設拋物線對稱軸與軸交於,與交於.
過點作軸於,易得,,,
1 以為腰且頂角為角的有1個:.
8分在中,9分②以為腰且頂角為角的有1個:.
在中, 10分
11分③以為底,頂角為角的有1個,即.
畫的垂直平分線交拋物線對稱軸於,此時平分線必過等腰的頂點.
過點作垂直軸,垂足為,顯然.
. 於是 13分
14分注:第(3)小題中,只寫出點的座標,無任何說明者不得分.
4、(福州)如圖12,已知直線與雙曲線交於兩點,且點的橫座標為.
(1)求的值;
(2)若雙曲線上一點的縱座標為8,求的面積;
(3)過原點的另一條直線交雙曲線於兩點(點在第一象限),若由點為頂點組成的四邊形面積為,求點的座標.
解:(1)∵點a橫座標為4 , ∴當= 4時, = 2 .
∴ 點a的座標為( 4,2
∵ 點a是直線與雙曲線 (k>0)的交點 ,
∴ k = 4 ×2 = 8
(2) 解法一:如圖12-1,
∵ 點c在雙曲線上,當= 8時, = 1
∴ 點c的座標為 ( 1, 8
過點a、c分別做軸、軸的垂線,垂足為m、n,得矩形dmon .
s矩形ondm= 32 , s△onc = 4 , s△cda = 9, s△oam = 4
s△aoc= s矩形ondm - s△onc - s△cda - s△oam = 32 - 4 - 9 - 4 = 15 .
解法二:如圖12-2,
過點 c、a分別做軸的垂線,垂足為e、f,
∵ 點c在雙曲線上,當= 8時, = 1 .
∴ 點c的座標為 ( 1, 8
∵ 點c、a都在雙曲線上 ,
∴ s△coe = s△aof = 4
∴ s△coe + s梯形cefa = s△coa + s△aof .
∴ s△coa = s梯形cefa
∵ s梯形cefa =×(2+8)×3 = 15 ,
∴ s△coa = 15
(3)∵ 反比例函式圖象是關於原點o的中心對稱圖形 ,
∴ op=oq,oa=ob .
∴ 四邊形apbq是平行四邊形 .
∴ s△poa = s平行四邊形apbq = ×24 = 6 .
設點p的橫座標為(> 0且),
得p (, ) .
過點p、a分別做軸的垂線,垂足為e、f,
∵ 點p、a在雙曲線上,∴s△poe = s△aof = 4 .
若0<<4,如圖12-3,
∵ s△poe + s梯形pefa = s△poa + s△aof,
∴ s梯形pefa = s△poa = 6 .
∴.解得= 2, = - 8(捨去) .
∴ p(2,4
若> 4,如圖12-4,
∵ s△aof+ s梯形afep = s△aop + s△poe,
∴ s梯形pefa = s△poa = 6 .
∴,解得= 8, = - 2 (捨去) .
∴ p(8,1).
∴ 點p的座標是p(2,4)或p(8,1).
5、(甘肅隴南)如圖,拋物線交軸於a、b兩點,交軸於點c,點p是它的頂點,點a的橫座標是3,點b的橫座標是1.
(1)求、的值;
(2)求直線pc的解析式;
(3)請**以點a為圓心、直徑為5的圓與直線
pc的位置關係,並說明理由.(參考數:,,)
解: (1)由已知條件可知: 拋物線經過a(-3,0)、b(1,0)兩點.
2分解得3分
(2) ∵, ∴ p(-1,-2),c4分
設直線pc的解析式是,則解得.
∴ 直線pc的解析式是6分
說明:只要求對,不寫最後一步,不扣分.
(3) 如圖,過點a作ae⊥pc,垂足為e.
設直線pc與軸交於點d,則點d的座標為(3,07分
在rt△ocd中,∵ oc=,,
∴. …………8分
∵ oa=3,,∴ad=6. …………9分
∵ ∠cod=∠aed=90o,∠cdo公用,
∴ △cod∽△aed10分
∴, 即11分
∵,∴ 以點a為圓心、直徑為5的圓與直線pc相離12分
6、(貴陽)如圖14,從乙個直徑是2的圓形鐵皮中剪下乙個圓心角為的扇形.
(1)求這個扇形的面積(結果保留).(3分)
(2)在剩下的三塊餘料中,能否從第③塊餘料中剪出乙個圓作為底面與此扇形圍成乙個圓錐?請說明理由.(4分)
(3)當的半徑為任意值時,(2)中的結論是否仍然成立?請說明理由.(5分)
解:(1)連線,由勾股定理求得:
1分2分(2)連線並延長,與弧和交於,
1分弧的長: 2分
圓錐的底面直徑為: 3分
,不能在餘料③中剪出乙個圓作為底面與此扇形圍成圓錐. 4分
(3)由勾股定理求得:
弧的長: 1分
圓錐的底面直徑為: 2分
且 3分
即無論半徑為何值, 4分
不能在餘料③中剪出乙個圓作為底面與此扇形圍成圓錐.
7、(河南)如圖,對稱軸為直線x=的拋物線經過點a(6,0)和b(0,4).
(1)求拋物線解析式及頂點座標;
(2)設點e(x,y)是拋物線上一動點,且位於第四象限,四邊形oeaf是以oa為對角線的平行四邊形,求四邊形oeaf的面積s與x之間的函式關係式,並寫出自變數x的取值範圍;
(3)①當四邊形oeaf的面積為24時,請判斷oeaf是否為菱形?
②是否存在點e,使四邊形oeaf為正方形?若存在,求出點e的座標;若不存在,請說明理由.
8、(湖北黃崗)已知:如圖,在平面直角座標系中,四邊形abco是菱形,且∠aoc=60°,點b的座標是,點p從點c開始以每秒1個單位長度的速度**段cb上向點b移動,設秒後,直線pq交ob於點d.
(1)求∠aob的度數及線段oa的長;
(2)求經過a,b,c三點的拋物線的解析式;
(3)當時,求t的值及此時直線pq的解析式;
(4)當a為何值時,以o,p,q,d為頂點的三角形與相似?當a 為何值時,以o,p,q,d為頂點的三角形與不相似?請給出你的結論,並加以證明.
9、(湖北荊門)如圖1,在平面直角座標系中,有一張矩形紙片oabc,已知o(0,0),a(4,0),c(0,3),點p是oa邊上的動點(與點o、a不重合).現將△pab沿pb翻摺,得到△pdb;再在oc邊上選取適當的點e,將△poe沿pe翻摺,得到△pfe,並使直線pd、pf重合.
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23 如圖,直線ab的解析式為y 2x 4,交x軸於點a,交y軸於點b,以a為頂點的拋物線交直線ab於點d,交y軸負半軸於點c 0,4 1 求拋物線解析式 2 將拋物線頂點沿著直線ab平移,此時頂點記為e,與y軸的交點記為f,求當 bef與 bao相似時,e點座標 記平移後拋物線與ab另乙個交點為g...