三垂線定理及其逆定理（複習課）《一》
內容分析：以前面學過的「三垂線定理及其逆定理」為基礎，重新剖析研討三垂線定理及其逆定理，安排了利用定理進行證明和求解的例題與練習。本節內容具有邏輯性強、體系性強、難度較大的特點，在某種程度上是對空間兩條直線垂直關係的乙個系統完善。
地位和作用；三垂線定理是空間兩條直線垂直的判定定理，是把某些空間圖形轉化為平面圖形的重要依據。經常用此定理去解決二面角、點到直線的距離、直線到直線的距離以及直線和平面垂直等問題。本節內容主要解決空間兩條直線垂直的判定。
教學目標：
知識目標：通過學習，讓學生在掌握三垂線定理與其逆定理的基礎上加深對它的理解，掌握運用其證明空間兩條直線垂直。
能力目標：通過問題的探索，培養學生的空間想象能力、邏輯思維能力和轉化能力。
德育目標：通過揭示正逆定理的對立統一，滲透辯證唯物主義觀點，欣賞數學美。
教材的重點難點：三垂線定理及其逆定理是立體幾何中證明線線垂直的重要定理，它們將空間兩條直線的垂直問題平面化，體現了化歸的思想方法，而且在解決有關「角」與「距離」等問題時也常常要用到這兩個定理。確定本節教學的重點為三垂線定理及其逆定理,難點是應用其證明空間兩條直線的垂直。
教學過程：
1、複習：
（1） 基本概念
（2） 定理內容分析
2、講授新課：
（1） 基礎性練習
1、若一條直線與平面的一條斜線在此平面上的射影垂直，則這條直線與斜線的位置關係是（ ）
（a）垂直 （b）異面 （c）相交 （d）不能確定
2、四面體中，如果ab是直徑，ｃ為圓周上任意點且ｐａ垂直於平面ａｂｃ．那麼該四面體最多有多少個直角三角形（ ）（圖略）
（a）有乙個直角三角形
（b）有兩個直角三角形
（c）都是直角三角形
（d）一定都不是直角三角形
（2）例題分析：
例題１。空間四邊形abcd中，ab垂直於cd，bc垂直於ad，求證：ac ⊥bd。
例題2。如圖，已知正方體abcd-a1b1c1d1中，鏈結bd1，ac，cb1，b1a，求證：bd1⊥平面ab1c
例題3.如圖所示,已知pa ⊥平abc,∠acb=90°， aq⊥pc，ar⊥pb，試證pbc、 pqr為直角三角形。
證明：∵pa⊥平面abc，∠acb= 90°， ∴ac⊥bc，ac是斜線pc在平面abc的射影，∴bc⊥pc（三垂線定理），
∴pbc是直角三角形；
∴bc⊥平面pac，aq在平面pac內，∴bc⊥aq，又pc⊥aq，
∴aq⊥平面pbc，
∴qr是ar在平面pbc的射影，又ar⊥pb，∴qr⊥pb（三垂線逆定理），
∴pqr是直角三角形。
經過以上三題證明的內化過程，完成了從具體到抽象的認知過程。在此基礎上剖析定理，進一步深化認識層次。目的是通過練習鞏固定理，逐步形成「一垂二射三證」的操作程式，提高運用定理的自覺性。
使得本節課的難點得以突破，有效地鞏固基本知識與基本技能。
3．課堂練習
1.判斷下列命題的真假：
⑴若a是平面α的斜線，直線b垂直於a在平面α內的射影，則 a⊥b
⑵若a是平面α的斜線，平面β內的直線b垂直於a在平面α內的射影，則 a⊥b
⑶若a是平面α的斜線，直線b α且b垂直於a在另一平面β內的射影則a⊥b
⑷若a是平面α的斜線,b∥α,直線 b垂直於a在平面α內的射影，則 a⊥b
2. 在正方體ac1中，
求證：a1c⊥bc1 ， a1c⊥b1d1
4、課堂小結：
從知識內容、方法和思想三個方面參與小結。
知識內容：三垂線定理及其逆定理；
應用步驟： 「一垂二射三證」
思想方法：轉化思想，轉化的關鍵是「找平面的垂線」。
5、布置作業：
１．（1）求證：兩條平行線和同乙個平面所成的角相等。
（2）從平面外一點d向平面引垂線段da及斜線段db、dc，若da=a，且∠bda=∠cda=60°， ∠ bdc=90 °，求bc的長。
（3）如圖，一塊正方體木料的上底面上有一點e，要經過點e在上底面上畫一條直線和c、e的連線垂直，應怎樣畫？
２．已知p在平面abc內的射影是o，
若p到△abc的三邊的距離相等，則點o是 △abc的
若pa=pb=pc ，則點o是△abc的
若pa⊥bc，pb⊥ac，則點o是△abc 的
探索1、已知p在平面abc內的射影是o，o是△abc的垂心，求證pa⊥bc，pb⊥ac。
探索2、已知p在平面abc內的射影是o，o是△abc的垂心，求證b在平面pac內的射影是o』是△pac的垂心。
探索3、已知o是銳角△abc的垂心，po⊥平面abc，∠bpc=９０ ° ．
求證：∠bpaapc= ９０ ° 。
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