三、解答題
1．(2010江蘇蘇州) (本題滿分9分)劉衛同學在一次課外活動中，用硬紙片做了兩個直角三角形，見圖①、②．圖①中，∠b=90°，∠a=30°，bc=6cm；圖②中，∠d=90°，∠e=45°，de=4 cm．圖③是劉衛同學所做的乙個實驗：他將△def的直角邊de與△abc的斜邊ac重合在一起，並將△def沿ac方向移動．在移動過程中，d、e兩點始終在ac邊上(移動開始時點d與點a重合)．
(1)在△def沿ac方向移動的過程中，劉衛同學發現：f、c兩點間的距離逐漸 ▲ ．
(填「不變」、「變大」或「變小」)
(2)劉衛同學經過進一步地研究，編制了如下問題：
問題①：當△def移動至什麼位置，即ad的長為多少時，f、c的連線與ab平行?
問題②：當△def移動至什麼位置，即ad的長為多少時，以線段ad、fc、bc的長度為三邊長的三角形是直角三角形?
問題③：在△def的移動過程中，是否存在某個位置，使得∠fcd=15°?如果存在，
求出ad的長度；如果不存在，請說明理由．
請你分別完成上述三個問題的解答過程．
【答案】
2．（2010安徽蚌埠二中）如圖1、2是兩個相似比為：的等腰直角三角形，將兩個三角形如圖3放置，小直角三角形的斜邊與大直角三角形的一直角邊重合。
⑴ 在圖3中，繞點旋轉小直角三角形，使兩直角邊分別與交於點，如圖4。
求證：；
⑵ 若在圖3中，繞點旋轉小直角三角形，使它的斜邊和延長線分別與交於點，如圖5，此時結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由。
⑶ 如圖，在正方形中，分別是邊上的點，滿足的周長等於正方形的周長的一半，分別與對角線交於，試問線段、、能否構成三角形的三邊長？若能，指出三角形的形狀，並給出證明；若不能，請說明理由。
【答案】⑴ 在圖4中，由於，將繞點旋轉，得，
、。連線
在中有又垂直平分
代換得在圖5中，由，將繞點旋轉，得
連線在中有又可證≌，得v
代換得(3)將繞點瞬時針旋轉，得，且
因為的周長等於正方形周長的一半，所以
化簡得從而可得≌，
推出此時該問題就轉化為圖5中的問題了。由前面的結論知：
，再由勾股定理的逆定理知：
線段、、可構成直角三角形。
3．（2010安徽省中中考）在小正方形組成的15×15的網路中，四邊形abcd和四邊形的位置如圖所示。
⑴現把四邊形abcd繞d點按順時針方向旋轉900，畫出相應的圖形，
⑵若四邊形abcd平移後，與四邊形成軸對稱，寫出滿足要求的一種平移方法，並畫出平移後的圖形
【答案】
4．（2010安徽蕪湖）（本小題滿分14分）如圖，在平面直角座標系中放置一矩形abco，其頂點為a（0，1）、b（－3，1）、c（－3，0）、o（0，0）．將此矩形沿著過e（－，1）、f（－，0）的直線ef向右下方翻摺，b、c的對應點分別為b′、c′．
（1）求摺痕所在直線ef的解析式；
（2）一拋物線經過b、e、b′三點，求此二次函式解析式；
（3）能否在直線ef上求一點p，使得△pbc周長最小？如能，求出點p的座標；若不能，說明理由．
【答案】
5．（2010廣東廣州，25，14分）如圖所示，四邊形oabc是矩形，點a、c的座標分別為（3，0），（0，1），點d是線段bc上的動點（與端點b、c不重合），過點d作直線＝－＋交折線oab於點e．
（1）記△ode的面積為s，求s與的函式關係式；
（2）當點e**段oa上時，若矩形oabc關於直線de的對稱圖形為四邊形oa1b1c1，試**oa1b1c1與矩形oabc的重疊部分的面積是否發生變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由.
【答案】（1）由題意得b（3，1）．
若直線經過點a（3，0）時，則b＝
若直線經過點b（3，1）時，則b＝
若直線經過點c（0，1）時，則b＝1
①若直線與折線oab的交點在oa上時，即1＜b≤，如圖25-a，
此時e（2b，0）
∴s＝oe·co＝×2b×1＝b
②若直線與折線oab的交點在ba上時，即＜b＜，如圖2
此時e（3，），d（2b－2，1）
∴s＝s矩－(s△ocd＋s△oae ＋s△dbe )
＝ 3－[(2b－1)×1＋×(5－2b)·()＋×3()]＝
∴（2）如圖3，設o1a1與cb相交於點m，oa與c1b1相交於點n，則矩形oa1b1c1與矩形oabc的重疊部分的面積即為四邊形dnem的面積。
本題答案由無錫市天一實驗學校金楊建老師草制！
由題意知，dm∥ne，dn∥me，∴四邊形dnem為平行四邊形
根據軸對稱知，∠med＝∠ned
又∠mde＝∠ned，∴∠med＝∠mde，∴md＝me，∴平行四邊形dnem為菱形．
過點d作dh⊥oa，垂足為h，
由題易知，tan∠den＝，dh＝1，∴he＝2，
設菱形dnem 的邊長為a，
則在rt△dhm中，由勾股定理知：，∴
∴s四邊形dnem＝ne·dh＝
∴矩形oa1b1c1與矩形oabc的重疊部分的面積不發生變化，面積始終為．
6．如圖，在平面直角座標系中，△ abc的三個頂點的座標分別為a（0,1），b（-1,1），c（-1,3）。
（1）畫出△abc關於x軸對稱的△a1b1c1，並寫出點c1的座標；
（2）畫出△abc繞原點o順時針方向旋轉90°後得到的△a2b2c2，並寫出點c2的座標；，
（3）將△a2b2c2平移得到△ a3b3c3，使點a2的對應點是a3，點b2的對應點是b3
，點c2的對應點是c3（4，-1），在座標系中畫出△ a3b3c3，並寫出點a3，b3的座標。
【答案】
（1）c1(-1,-3) (2)c2(3,1) (3)a3(2,-2),b3(2,-1)
7．（2010山東威海）如圖①，將一張矩形紙片對折，然後沿虛線剪下，得到兩個（不等邊）三角形紙片△abc，△a1b1c1．
﹙1﹚將△abc，△a1b1c1如圖②擺放，使點a1與b重合，點b1在ac邊的延長線上，連線cc1交bb1於點e．求證：∠b1c1c＝∠b1bc．
﹙2﹚若將△abc，△a1b1c1如圖③擺放，使點b1與b重合，點a1在ac邊的延長線上，連線cc1交a1b於點f．試判斷∠a1c1c與∠a1bc是否相等，並說明理由．
﹙3﹚寫出問題﹙2﹚中與△a1fc相似的三角形
【答案】
（1）證明：由題意，知△abc≌△a1b1c1，
∴ ab= a1b1，bc1=ac，∠2=∠7，∠a=∠1．
∴ ∠3=∠a=∠11分
∴ bc1∥ac．
∴ 四邊形abc1c是平行四邊形． ………………2分
∴ ab∥cc1．
∴ ∠4=∠7=∠23分
∵ ∠5=∠6，
∴ ∠b1c1c＝∠b1bc4分
﹙2﹚∠a1c1c =∠a1bc5分
理由如下：由題意，知△abc≌△a1b1c1，
∴ ab= a1b1，bc1=bc，∠1=∠8，∠a=∠2．
∴ ∠3=∠a，∠4=∠76分
∵ ∠1＋∠fbc=∠8＋∠fbc，
∴ ∠c1bc＝∠a1ba7分
∵ ∠4= (180°－∠c1bc)，∠a= (180°－∠a1ba)．
∴ ∠4=∠a8分
∴ ∠4=∠2．
∵ ∠5=∠6，
∴ ∠a1c1c=∠a1bc9分
﹙3﹚△c1fb，…………10分； △a1c1b，△acb．…………11分﹙寫對乙個不得分﹚
8．（2010四川涼山）有一張矩形紙片，、分別是、上的點（但不與頂點重合），若將矩形分成面積相等的兩部分，設，，。
（1） 求證：；
（2） 用剪刀將該紙片沿直線剪開後，再將梯形紙片沿ab對稱翻摺，平移拼接在梯形的下方，使一底邊重合，一腰落在dc的延長線上，拼接後，下方梯形記作。當為何值時，直線經過原矩形的頂點d。
【答案】
9．（2010四川眉山）如圖，rt△ab c 是由rt△abc繞點a順時針旋轉得到的，鏈結cc 交斜邊於點e，cc 的延長線交bb 於點f．
（1）證明：△ace∽△fbe；
（2）設∠abc=，∠cac =，試探索、滿足什麼關係時，△ace與△fbe是全等三角形，並說明理由．
【答案】
（1）證明：∵rt△ab c 是由rt△abc繞點a順時針旋轉得到的，
∴ac=ac ，ab=ab ，∠cab=∠c ab1分）
cac =∠bab
∴∠acc =∠abb3分）
又∠aec=∠feb
∴△ace∽△fbe4分）
（2）解：當時，△ace≌△fbe5分）
在△acc中，∵ac=ac ，
6分） 在rt△abc中，
∠acc+∠bce=90°，即，
bce=．
abc=，
abc=∠bce8分）
∴ce=be
由（1）知：△ace∽△fbe，
ace≌△fbe9分）
10．（2010浙江寧波）如圖1，在平面直角座標系中，o是座標原點，□abcd的頂點a的座標為(-2，0)，點
d的座標為 (0，)，點b在軸的正半軸上，點e為線段ad的中點，過點e的直
線與軸交於點f，與射線dc交於點g.
(1)求∠dcb的度數；
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