向量專題複習
江西省特級教師龔曉洛
題1：已知o是平面上一定點，a、b、c是平面上不共線的三個點，動點p滿足,. 則p點的軌跡一定通過△abc的
a. 外心 b. 內心c. 重心d. 垂心
解：由已知得，是方向上的單位向量，是方向上的單位向量，根據平行四邊形法則知構成菱形，點p在∠bac的角平分線上，故點p的軌跡過△abc的內心，選b.
練習：在直角座標系xoy中，已知點a(0,1)和點b(–3, 4)，若點c在∠aob的平分線上，且，則
略解：點c在∠aob的平線上，則存在使==, 而，可得，∴.
題2：已知o是平面上一定點，a、b、c是平面上不共線的三個點，動點p滿足,. 則p點的軌跡一定通過△abc的( )
a. 外心 b. 內心c. 重心d. 垂心
解：由已知得，設bc的中點為d，則根據平行四邊形法則知點p在bc的中線ad所在的射線上，故p的軌跡過△abc的重心，選c.
題3：已知o是平面上的一定點，a、b、c是平面上不共線的三個點，動點p滿足, , 則動點p的軌跡一定通過△abc的( )
a. 重心 b. 垂心c. 外心 d. 內心
解：由已知得，
由正弦定理知，∴，
設bc的中點為d，則由平行四邊形法則可知點p在bc的中線ad所在的射線上，所以動點p的軌跡一定通過△abc的重心，故選a .
題4：已知o是平面上的一定點，a、b、c是平面上不共線的三個點，動點p滿足, , 則動點p的軌跡一定通過△abc的( )
a. 重心 b. 垂心c. 外心 d. 內心
解：由已知得，
∴=== 0，
∴，即ap⊥bc，所以動點p的軌跡通過△abc的垂心，選b.
題5：已知o是平面上的一定點，a、b、c是平面上不共線的三個點，動點p滿足, , 則動點p的軌跡一定通過△abc的( )
a. 重心b. 垂心c. 外心 d. 內心
解：設bc的中點為d，則，
則由已知得，
∴=== 0 .
∴dp⊥bc，p點在bc的垂直平分線上，故動點p的軌跡通過△abc的外心. 選c .
題6：三個不共線的向量滿足=+) == 0，則o點是△abc的( )
a. 垂心b. 重心c. 內心 d. 外心
解：表示與△abc中∠a的外角平分線共線的向量，由= 0知oa垂直∠a的外角平分線，因而oa是∠a的平分線，同理，ob和oc分別是∠b和∠c的平分線，故選c .
題7：已知a、b、c是平面上不共線的三點，o為△abc的外心，動點p滿足，則p的軌跡一定通過△abc的( )
a. 內心b. 垂心 c. 重心 d. ab邊的中點
解： =
==,由平行四邊形法則知必過ab邊的中點，注意到，所以p的軌跡在ab邊的中線上，但不與重心重合，故選d.
題8：已知o是△abc所在平面上的一點，若= 0, 則o點是△abc的( )
a. 外心 b. 內心c. 重心 d. 垂心
解：若= 0, 則，以、為鄰邊作平行四邊形oac1b，設oc1與ab交於點d，則d為ab的中點，有，得，即c、o、d、c1四點共線，同理ae、bf亦為△abc的中線，所以o是△abc的重心. 選c .
題9：已知o是△abc所在平面上的一點，若(其中p為平面上任意一點), 則o點是△abc的( )
a. 外心 b. 內心c. 重心 d. 垂心
解：由已知得，
∴，即= 0，由上題的結論知o點是△abc的重心. 故選c .
題10：已知o是△abc所在平面上的一點，若，則o點是△abc的( )
a. 外心 b. 內心 c. 重心d. 垂心
解：由，則，即，
得，所以. 同理可證，.
∴o是△abc的垂心. 選d.
題11：已知o為△abc所在平面內一點，滿足=，則o點是△abc的( )
a. 垂心b. 重心c. 內心 d. 外心
解：由已知得
=== 0
= 0，∴⊥.
同理，. 故選a .
題12：已知o是△abc所在平面上的一點，若=== 0，則o點是△abc的( )
a. 外心 b. 內心 c. 重心d. 垂心
解：由已知得：
=== 0
== 0
. 所以o點是△abc的外心. 選a .
題13：已知o是△abc所在平面上的一點，若= 0，則o點是△abc的( )
a. 外心 b. 內心 c. 重心d. 垂心
解：∵，，則= 0，得. 因為與分別為和方向上的單位向量，設，則平分∠bac.
又、共線，知ao平分∠bac. 同理可證bo平分∠abc，co平分∠acb，所以o點是△abc的內心.
題14：已知o是△abc所在平面上的一點，若(其中p是△abc所在平面內任意一點)，則o點是△abc的( )
a. 外心 b. 內心 c. 重心d. 垂心
解：由已知得=，
∴==，
由上題結論知o點是△abc的內心. 故選b.
題15：設o為△abc的外心，g為△abc的重心，求證：.
證明：根據題9中p點的任意性即可證得. 證明略.
題16：設o為△abc的外心，h為△abc的垂心，則.
證明：在△abc的外接圓o中作直徑bd，連線
ad、dc，則有：, ad⊥ab, dc⊥bc,
又h是垂心，則ah⊥bc, ch⊥ab,
∴ch∥ad, ah∥dc, 於是ahcd是平行四邊形，
∴.∴.
練習1：△abc的外接圓的圓心為o，兩邊上的高的交點為h， =，則實數m
解1：由上題結論知m = 1.
解2：∵o為△abc的外接圓的圓心，所以，又h為三角形的垂心，則，故∥，設.
則，又=，所以m=1.
練習2：△abc中，ab=1, bc =, ca = 2, △abc的外接圓的圓心為o，若，求實數的值.
解：，兩邊平方得. 分別取ab、ac的中點m、n，連線om、on. 則==.
又o為△abc的外接圓的圓心，則= 0，即有.
同理有= 0，得. 解得，.
二、與三角形形狀相關的向量問題
題17：已知非零向量與滿足= 0且，則△abc為( )
a. 三邊均不相等的三角形b. 直角三角形
c. 等腰非等邊三角形d. 等邊三角形
解：由= 0，知角a的平分線垂直於bc，故△abc為等腰三角形，即|ab| = |ac|；由，
∴= 600 . 所以△abc為等邊三角形，選d .
題18：已知o為△abc所在平面內一點，滿足，則△abc一定是( )
a. 等腰直角三角形b. 直角三角形
c. 等腰三角形d. 等邊三角形
解：由已知得
，可知以ab與ac為鄰邊的平行四邊形是矩形，所以ab⊥ac，選b .
題19：已知△abc，若對任意，≥，則△abc( )
a. 必為銳角三角形b. 必為鈍角三角形
c. 必為直角三角形d. 答案不確定
解法1：∵，∴，
∴≥……①
①式右邊表示a、c兩點之間的距離，記，則①式左邊表示直線bc外一點a與直線bc上動點p之間的距離，由≥恆成立知，a在直線bc上的射影就是c點，所以ac⊥bc，故選c .
解法2：令，過點a作ad⊥bc於點d, 由≥，得≥，令f (t) =，則f (t)≥恆成立，只要f (t)的最小值大於或等於，而當t =時，f (t)取最小值，此時：
≥，即≥，∴≥，從而有| ad |≥ | ac | ,
∴, 故選c.
題20：已知a, b, c分別為△abc中∠a, ∠b, ∠c的對邊，g為△abc的重心，且= 0, 則△abc為( )
a. 等腰直角三角形b. 直角三角形
c. 等腰三角形d. 等邊三角形
解：∵g是△abc的重心，∴= 0, 又= 0,
∴= 0, 即= 0 .
∵,不共線，∴a – c = b – c = 0, 即a = b = c.
∴△abc為等邊三角形. 選d.
三、與三角形面積相關的向量問題
命題：平面內點o是△abc的重心，則有.
題21：已知點o是△abc內一點， = 0, 則：
(1) △aob與△aoc的面積之比為
(2) △abc與△aoc的面積之比為
(3) △abc與四邊形aboc的面積之比為
解： (1) 將ob延長至e，使oe = 2ob，將oc延長至f，使of = 3oc，則= 0, 所以o是△aef的重心.
∴，，∴.
(2) ∵，
∴==，又,
∴.(3) =，
∴.四、向量的基本關係(共線、垂直、夾角)
命題：a、b、c三點共線，且(o為平面上任一點).
題22：在△abc中，已知d是ab邊上一點，若，，則=( )
abcd.
解：由上述命題的結論可知選a .
題23：如圖，在△abc中，點o是bc的
中點，過點o的直線分別交直線ab、ac於不同
的兩點m、n，若，，則
m + n =______.
解1：取特殊位置. 設m與b重合，n與c
三角形五心與向量
9 o是平面上一定點，a b c是平面上不共線的三個點，動點p滿足則p的軌跡一定通過 abc的內心。o是平面上一定點，a b c是平面上不共線的三個點，動點p滿足則p的軌跡一定通過 abc的垂心。o是平面上一定點，a b c是平面上不共線的三個點，動點p滿足則p的軌跡一定通過 abc的重心。1 20...
三角形「四心」向量形式的應用
一 知識總結 1 三角形的重心的向量表示及應用 中線交點 命題一 g是 abc的重心 命題二 為 abc的重心 p是平面上的點 命題三 點是三角形的重心則 變式 已知分別為的邊的中點 則 變式引申 平行四邊形的中心為，為該平面上任意一點，則 2 三角形的垂心的向量表示及應用 三邊高線交點 命題一 h...
三角形四心的向量性質及證明
符號說明 ab 表示向量，ab 表示向量的模 一些結論 以下皆是向量 1 若p是 abc的重心pa pb pc 0 2 若p是 abc的垂心pa pb pb pc pa pc 內積 3 若p是 abc的內心apa bpb cpc 0 abc是三邊 4 若p是 abc的外心 pa pb pc ap就表...