一． 知識總結
1．重心(中線交點)
①g是△abc的重心
證明作圖如右，圖中
鏈結be和ce，則ce=gb，be=gcbgce為平行四邊形d是bc的中點，ad為bc邊上的中線.
將代入=，
得=，故g是△abc的重心.(反之亦然(證略))
②為△abc的重心(p是平面上的點).
證明 ∵g是△abc的重心
∴==，即
由此可得.(反之亦然(證略))
【例1】 已知向量，，滿足條件1，
求證 △p1p2p3是正三角形.(《數學》第一冊(下)，複習參考題五b組第6題)
證明由已知+=-，兩邊平方得·=，
同理·=·=，
從而△p1p2p3是正三角形.
反之，若點o是正三角形△p1p2p3的中心，則顯然有++=且||=||=||.
即o是△abc所在平面內一點， ++=且||=||=||點o是正△p1p2p3的中心.
2．垂心(高線交點)
h是△abc的垂心
由,同理，.故h是△abc的垂心.
(反之亦然(證略))
若h是△abc(非直角三角形)的垂心，則
s△bhc：s△ahc：s△ahb=tana：tanb：tanc
故tana·+tanb·+tanc·=
3．外心(邊垂直平分線交點，外接圓圓心)
o是△abc的外心||=||=||(或2=2=2)(點o到三邊距離相等)
0(o為三邊垂直平分線)
若o是△abc的外心，則s△boc：s△aoc：s△aob=sinboc：sinaoc：sinaob=sin2a：sin2b：sin2c
故sin2a·2sin2b·+sin2c·=
4．內心(角平分線交點，內切圓圓心)
o是△abc的內心充要條件是
引進單位向量，使條件變得更簡潔。如果記，，的單位向量為，則o是△abc內心的充要條件可以寫成
o是△abc內心的充要條件也可以是a·+b·+c·=
若o是△abc的內心，則s△boc：s△aoc：s△aob=a：b：c
故a·+b·+c·=或sina·+sinb·+sinc·=;
為△abc的內心;
向量所在直線過△abc的內心(是∠bac的角平分線所在直線)；
*設p是△abc所在平面內任意一點，i為△abc內心的充要條件是
【例2】 o是平面上的一定點，a,b,c是平面上不共線的三個點，動點p滿足，λ∈[0，+∞)則p點的軌跡一定通過△abc的(b)
(a)外心 (b)內心 (c)重心 (d)垂心
解析：因為是向量的單位向量設與方向上的單位向量分別為和，又，則原式可化為，由菱形的基本性質知ap平分，那麼在中，ap平分，則知選b.
5．外心與重心：o是△abc的外心，g是重心，則
6．外心與垂心：o是△abc的外心，h是垂心，則
證明若△abc的垂心為h，外心為o，如圖.
連bo並延長交外接圓於d，鏈結ad，cd.
∴ad⊥ab，cd⊥bc.又垂心為h，ah⊥bc，ch⊥ab，
∴ah∥cd，ch∥ad，
∴四邊形ahcd為平行四邊形，
∴，故.
7．重心與垂心：g是△abc的重心，h是垂心，則
8．外心、重心、垂心：o、g、h分別是銳角△abc的外心、重心、垂心，則
證明按重心定理 g是△abc的重心
按垂心定理，由此可得.
著名的「尤拉定理」講的是銳角三角形的「三心」——外心、重心、垂心的位置關係：
(1)三角形的外心、重心、垂心三點共線——「尤拉線」；
(2)三角形的重心在「尤拉線」上，且為外——垂連線的第乙個三分點，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍。
【例3】 在△abc中，已知q、g、h分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：q、g、h三點共線，且qg:gh=1:2。
【證明】：以a為原點，ab所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角座標系。設a(0,0)、b(x1,0)、c(x2,y2)，d、e、f分別為ab、bc、ac的中點，則有：
由題設可設,
， 即，故q、g、h三點共線，且qg：gh=1：2
二．練習
1．已知a、b、c是平面上不共線的三點，o是三角形abc的重心，動點p滿足= (++2),則點p一定為三角形abc的( b)
邊中線的中點 邊中線的三等分點(非重心) c.重心 邊的中點
分析：取ab邊的中點m，則，
由= (++2)可得3，
∴，即點p為三角形中ab邊上的中線的乙個三等分點，且點p不過重心。
2．在同乙個平面上有及一點ｏ滿足關係式： 2+2=2+2＝2＋2，則ｏ為△abc的(d)
a.外心 b.內心 c．重心 d．垂心
3．已知△abc的三個頂點a、b、c及平面內一點p滿足：，則p為△abc的(c)
a.外心 b. 內心 c．重心 d．垂心
4．已知o是平面上一定點，a、b、c是平面上不共線的三個點，動點p滿足：
，則p的軌跡一定通過△abc的(c)
a.外心 b. 內心 c. 重心 d．垂心
5．已知△abc，p為三角形所在平面上的動點，且滿足：，則p點為三角形的 (d)
a. 外心 b. 內心 c. 重心 d. 垂心
6．已知△abc，p為三角形所在平面上的一點，且點p滿足：，則p點為三角形的(b)
a.外心 b. 內心 c. 重心 d. 垂心
7．在三角形abc中，動點p滿足：，則p點一定通過△abc的(b )
a.外心 b. 內心 c. 重心 d. 垂心
8.非零向量與滿足(+)·=0且·=,則△abc為(d)
a.三邊均不相等的三角形 b.直角三角形 c.等腰非等邊三角形 d．等邊三角形
解析：非零向量與滿足()·=0，即角a的平分線垂直於bc，
∴ab=ac，又=，∠a=，所以△abc為等邊三角形.
9.△abc的外接圓的圓心為o，兩條邊上的高的交點為h，，則實數m= 1
10.點o是三角形abc所在平面內的一點，滿足，則點o是△abc的(b)
(a)三個內角的角平分線的交點 (b)三條邊的垂直平分線的交點
(c)三條中線的交點d)三條高的交點
11.如圖1，已知點g是△abc的重心，過g作直線與ab，ac兩邊分別交於m，n兩點，且，，則。
證點g是△abc的重心，知，得
，有。又m，n，g三點共線(a不在直線mn上)，
於是存在λ，μ，使得，
有=，得，於是得。
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三角形五心與向量
9 o是平面上一定點，a b c是平面上不共線的三個點，動點p滿足則p的軌跡一定通過 abc的內心。o是平面上一定點，a b c是平面上不共線的三個點，動點p滿足則p的軌跡一定通過 abc的垂心。o是平面上一定點，a b c是平面上不共線的三個點，動點p滿足則p的軌跡一定通過 abc的重心。1 20...