數學分析（ⅲ）期末總複習題
一、填空題
1、拋物面在點處的切平面平行於平面。[答案：]
2、設，則在點沿方向的方向導數為答案：]
3、函式在點處的梯度為答案：]
4、已知方程確定隱函式，則
[答案：，]
4、設s是平面與三個座標面所圍成的四面體的全表面外側，則曲面積分答案：]
5、設曲線細棒的線密度為，則其質量為 。
[答案：]
6、設曲線積分與路徑無關，其中具有連續導數，且，則
答案：]
7、設是圓周的正向，則
8、若積分收斂，則 。
二、單項選擇題
1、二重極限b ]
（a）不存在。 （b） 0。 （c） 1。 （d） 2。
2、若函式在點處的偏導數存在，則在該點處 [ d ]
（a）極限存在。 （b）連續。 （c）可微。 （d）（a）、（b）和（c）都不對。
3、函式在存在二重極限是在處存在累次極限的 ．[答案：d]
（a）必要條件b）充分條件；
（c）充分必要條件d）既不是充分條件也不是必要條件。
4、函式在處可微是在處存在偏導數的 ．[答案：b]
（a）必要條件b）充分條件；
（c）充分必要條件d）既不是充分條件也不是必要條件。
5、已知為某函式的全微分，則等於答案：c ]
（a）-1； （b） 0； （c） 1； （d） 2。
6、笛卡爾線在點處的答案：b]
（a）切線方程為； （b）法線方程為；
（c）切線方程為； （d）法線方程為。
7、累次積分可以寫成答案：d ]
（ab）
（cd）。
8、設是有界閉區域的邊界曲線的正向，都在上連續且有連續偏導數，則答案：b]
（a） ； （b）；
（c）； （d）。
9、設為連續函式，則重積分可化為單積分答案：a]
（a）； （b）； （c）； （d）。
三、計算題
1、設，其中具有二階連續偏導數，求
解3分）
（8分）
2、3、計算，其中。
解如圖所示：噹噹
所以3分)
8分)4、計算，其中為立體的邊界曲面。
解2分）
4分） （8分）
5、驗證曲線積分
與路線無關，並求被積表示式的原函式。
解令，則
從而，，故積分與路徑無關4分）
8分）6、計算曲線積分，其中是螺旋線： 到的一段．
7、計算曲線積分，其中是曲線：，方向是逆時鐘方向．
8、計算，其中是由球面的外側。
解由gauss公式，得
9、計算，其中是由曲面與所圍立體表面的外側。
四、應用題
1．要設計乙個容量為的長方體開口水箱，試問水箱的長、寬、高各等於多少時，其表面積最小？
解設水箱的長、寬、高分別為，其表面積為，則
依題意，約束條件為：和。這時所求問題的lagrange函式是
對求偏導數並令它們都等於0：
解由以上四個方程構成的方程組，得
根據問題的實際意義，水箱的表面積的最小值必在其唯一穩定點處達到，當高為，長與寬為高的2倍時，表面積最小，最小值為。
五、證明題
1．證明函式在原點處存在偏導數但不可微．
2．證明曲面的每一切平面都通過原點．
3．求證：球面的每個切平面垂直於過切點的半徑．
4．證明是某一函式的全微分，並求原函式．
5．設是圓盤：，為其正向邊界，證明：
（1）；
（2）。
證 （1）由green公式，知
，根據積分區域的對稱性，可知
故（1）得證。
（2）由（1）知
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