一、基本概念
1、內心：與三角形所有邊相切的圓叫做此三角形的內切圓，其圓心叫做此三角形的內心.內心是三角形三條內角平分線的交點.三角形的內心在三角形內部.
內心有以下常用的性質：
性質1：設i是⊿abc內一點，i為⊿abc內心的充要條件是：i到三角形三邊的距離相等.
性質2：設i是⊿abc內一點，ai所在直線交⊿abc 的外接圓於d，
i為⊿abc內心的充要條件是：id=db=dc.
性質3：設i是⊿abc內一點，i為⊿abc內心的充要條件是：
∠bic=900+∠a，∠aic=900+∠b，∠aib=900+∠c.
性質4：設i是⊿abc內一點，i為⊿abc內心的充要條件是：
⊿ibc、⊿iac、⊿iab的外心均在⊿abc的外接圓上.
性質5：設i為⊿abc內心，bc=a，ac=b，ab=c，i在bc、ac、ab
邊上的射影分別為d、e、f，內切圓的半徑為r，令p= (a+b+c),則
(1)id=ie=if=r，s⊿abc=pr==；
(2)r=；
(3)abc·r=p·ai·bi·ci.
性質6：設i為⊿abc內心，bc=a，ac=b，ab=c，∠a的平分線交bc於k，交⊿abc 的外接圓於d，則===.
2、外心：經過三角形各頂點的圓叫做此三角形的外接圓，其圓心叫做此三角形的外心.外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點.
銳角三角形的外心在三角形內部，直角三角形的外心在斜邊中點，鈍角三角形的外心在三角形外部.
外心有以下常用的性質：
性質1：⊿abc所在平面上一點是其外心的充要條件是：該點到三角形三頂點的距離相等.
性質2：設o是⊿abc所在平面內一點，則o為⊿abc的外心的充要條件是：
(1)∠boc=2∠a，∠acc=2∠b，∠aob=2∠c.
(2)ob=oc, 且∠boc=2∠a.
性質3：r=或s⊿abc=.
3、重心：三角形三條邊中線的交點叫做此三角形的重心.重心在三角形內部.重心到頂點的距離等於它到對邊中點距離的2倍（即：重心將每條中線分成1:2兩部分）.
重心有以下常用的性質：
性質1：設g是⊿abc的重心，連ag並延長交bc於d，則d為bc的中點，
ad2= (ab2+ac2)-bc2,且ag:gd=2:1.
性質2：設g是⊿abc的重心，p為⊿abc內任意一點，則
(1)ap2+bp2+cp2=ag2+bg2+cg2+3pg2；
(2)ag2+bg2+cg2= (ab2+bc2+ca2).
性質3：設g是⊿abc內一點，g是⊿abc的重心的充要條件是下列條件之一：
(1)s⊿gbc=s⊿gca=s⊿gab=s⊿abc；
(2)當ag、bg、cg的延長線交三邊於d、e、f時，s⊿afg=s⊿bdg=s⊿ceg.
(3)當點g在三邊bc、ca、ab上的射影分別為d、e、f時，gd·ge·gf值最大；
(4)過g的直線交ab於p，交ac於q時， +=3；
(5)bc2+3ag2=ca2+3gb2=ab2+3gc2.
4、垂心：三角形三條邊高線的交點叫做此三角形的垂心。銳角三角形的垂心在三角形內部，直角三角形的垂心在直角頂點，鈍角三角形的垂心在三角形外部.
垂心有以下常用的性質：
性質1：設h是⊿abc的垂心，則∠bhc=∠b+∠c=1800-∠a，∠cha=∠c+∠a=1800-∠b，∠ahb=∠a+∠b=1800-∠c.
性質2：設h是⊿abc的垂心，則h、a、b、c四點中任意一點是其餘三點為頂點的三角形的垂心（並稱這樣的四點組為一垂心組，且一垂心組的四個外接圓的圓心是另一垂心組，與原垂心組全等）。
性質3：設⊿abc有三條高線為ad、be、cf。其中d、e、f分別為垂足，垂心為h，
則對於a、b、c、h、d、e、f有六組四點共圓，有三組（每組四個）相似三角形，
且ah·hd=bh·he=ch·hf.
性質4：h是⊿abc所在平面上一點，h是其垂心的充要條件是下列條件之一：
(1)h關於三邊的對稱點都在⊿abc的外接圓上；
(2)⊿abc、⊿abh、⊿bch、⊿ach的外接圓是等圓； ob=oc, 且∠boc=2∠a.
(3)h關於三邊中點的對稱點都在⊿abc的外接圓上；
(4)∠hab=∠hcb，∠hbc=∠hac；
(5)∠bao=∠hac，∠abo=∠hbc其中o是⊿abc外心.
性質5：三角形任一頂點到垂心的距離，等於外心到對邊的距離的2倍；
性質6：銳角三角形的垂心到三頂點的距離之和等於其內切圓與外接圓半徑之和的2倍；
性質6：銳角三角形的垂心是垂足三角形的內心；銳角三角形的內接三角形（頂點在原三角形的邊上）中，以垂足三角形的周長最短.
5、旁心：與三角形一條邊和外切，又與另兩邊的延長線相切的圓叫做三角形的旁切圓.乙個三角形有三個旁切圓，旁切圓的圓心簡稱三角形的旁心.每乙個旁心到三邊的距離都相等.
平面幾何 有關三角形五心的經典試題及證明
三角形的外心 重心 垂心 內心及旁心，統稱為三角形的五心.一 外心.三角形外接圓的圓心，簡稱外心.與外心關係密切的有圓心角定理和圓周角定理.例1 過等腰 abc底邊bc上一點p引pm ca交ab於m 引pn ba交ac於n.作點p關於mn的對稱點p 試證 p 點在 abc外接圓上.杭州大學 中學數學...
三角形五心及證明
o，a，b，c對應的複數分別為，1，若是的重心，則 式1 2，若是的內心，則 式2 其中 3，若是的垂心，則 式3 其中4，若是的外心，則 式4 其中 a，b，c同3，5，旁心 三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交於一點 記為中的內角平分線和兩頂點處的外角平分線的交點，為中的內角平分線和兩...
三角形五心與向量
9 o是平面上一定點，a b c是平面上不共線的三個點，動點p滿足則p的軌跡一定通過 abc的內心。o是平面上一定點，a b c是平面上不共線的三個點，動點p滿足則p的軌跡一定通過 abc的垂心。o是平面上一定點，a b c是平面上不共線的三個點，動點p滿足則p的軌跡一定通過 abc的重心。1 20...