初二數學第十九章:幾何證明(四)
一、知識梳理
【知識點1】直角三角形全等的判定定理：
如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應相等，那麼這兩個直角三角形全等
（簡記為「
【問題討論】怎樣證明乙個命題是真命題？
已知：如圖，在△abc與△a＇b＇c＇中，
若ab=a＇b＇，ac=a＇c＇，∠c=∠c＇=90°，
求證：rt△abc≌rt△a＇b＇c＇．
分析：【思考】如何把分散的條件，集中到乙個圖形中？
如右圖，因為∠acb=∠a＇c＇b＇=90°，ac=a＇c＇，所以b、c(c＇)、b＇三點在一條直線上，因此，△abb＇是乙個等腰三角形，於是利用「等邊對等角」可證得∠b=∠b＇．再根據判定定理「aas」可知，rt△abc≌rt△a＇b＇c＇。
【知識點2】直角三角形的兩個性質定理
定理1：直角三角形的兩個銳角互餘
用符號語言表示（如上圖）：
∵∠c=90°（已知），
∴∠a+∠b=90°（直角三角形的兩個銳角互餘）。
定理2： 直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。
符號語言表示：
∵∠acb=90°，cd是斜邊ab上的中線或點d是ab的中點(已知)，
∴cd=ad=bd=ab（直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半）.
【問題討論】如何證明性質定理2。
證明：延長cd到點e，使de=cd，聯結ae.
∵cd是斜邊ab的中線，
∴ad=bd(三角形中線的定義) .
在△aed與△bcd中，
∴△aed≌△bcd ( .
∴ae=bc（全等三角形對應邊相等）；
∠3＝∠b（全等三角形對應角相等）.
∵∠acb=90°（已知），
∴∠4+∠b＝90°（直角三角形兩銳角互餘）.
∴∠4+∠3＝90°(等量代換)，
即∠cae＝∠acb(等量代換) .
在△cab與△ace中，
∴△cab≌△ace ( .
∴ab=ce（全等三角形對應邊相等）.
又∵cd=ae(已作)，
∴cd=ab(等量代換) .
【知識點3】直角三角形性質的兩個推論：
推論1：在直角三角形中，如果有乙個銳角等於30，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半．
推論2：在直角三角形中，如果一條直角邊等於斜邊的一半，那麼這條直角邊所對的角等於30 ．（口頭給予證明）
二、例題精講
例題1：求證：在乙個角的內部（包括頂點）且到角的兩邊距離相等的，在這個角平分線上．
已知：如圖，oe⊥ba，od⊥bc，垂足分別是點e、d，且oe=od．
求證：點o在∠abc的平分線上．
證明：連bo．
∵oe⊥ba，od⊥bc （已知），
∴△obe和△obd都是直角三角形
在rt△obe與rt△obd中，
∴rt△obe≌rt△obd（h．l）．
得∠1=∠2（全等三角形的對應角相等）．
即ob是∠abc的平分線（角平分線的定義）．
∴點o在∠abc的平分線上．
例題2.已知，如圖，bd、ce分別是△abc的高，
m、n分別是bc、de的中點，分別聯結me、md.
求證：mn⊥ed
證明：∵bd是△abc的高（已知），
∴∠bdc=90°（垂直的定義）.
又∵m是bc的中點（已知），
∴dm=bc（直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半）.
同理 em=bc.
∴me=md（等式性質），
∵n是de的中點（已知），
∴mn⊥ed（等腰三角形三線合一）
例題3.如圖，已知,ap平分，pm//ab,am=5, ,求pd的長．
解：過p作於點e,
ap平分,
∴.∵pm//ab（已知）,
∴（兩直線平行內錯角相等）,
∴ (等量代換),
∴mp = am=5.
∵pm//ab（已知）,
∴ (兩直線平行,同位角相等),
∵（已知）,
∴,∴pe=2.5（在直角三角形中，如果有乙個銳角等於30，
那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半）,
pd=pe=2.5(角平分線上的一點到角的兩邊的距離相等).
例題4.如圖，四邊形abcd是邊長為a的正方形，點g，e分別是邊ab，bc的中點，∠aef=90o，且ef交正方形外角的平分線cf於點f．
（1）證明：∠bae=∠fec；
（2）證明：△age≌△ecf；
（3）求△aef的面積．
（1）證明：∵∠aef=90o，
∴∠fec+∠aeb=90o．
在rt△abe中，∠aeb+∠bae=90o，
∴∠bae=∠fec；
（2）證明：∵g，e分別是正方形abcd的邊ab，
bc的中點，
∴ag=gb=be=ec，且∠age=180o－45o=135o．
又∵cf是∠dch的平分線， ∠ecf=90o+45o=135o．
在△age和△ecf中，
∴△age≌△ecf；
（3）解：由△age≌△ecf，得ae=ef．
又∵∠aef=90o，∴△aef是等腰直角三角形．
由ab=a，be=a，以及勾股定理得ae=a，∴s△aef=a2．
【學法指導】：在直角三角形中，常用基本圖形和基本性質定理
三、課堂過關測試
測試題1.已知如圖，ab＝cd，de⊥ac，bf⊥ac，e，f是垂足，．
求證：．
測試題2. 如圖，p為∠aob的平分線上一點，pc⊥oa與點c，∠oap+∠obp=180，若oc=4㎝，求ao+bo的值．
測試題3.如圖，已知：e是∠aob的平分線上一點，ec⊥ob，ed⊥oa，c、d是垂足，連線cd，且交oe於點f.
（1）求證：oe是cd的垂直平分線.
（2）若∠aob=60，求of︰fe的值.
測試題4.已知：如圖，△abc與△abd中，∠acb=∠adb=90°，點m、n分別是ab與cd的中點，求證：mn⊥cd
測試題5.如圖，已知d是bc的中點，過點d作bc的垂線交∠a的平分線於點e，ef⊥ab於點f，eg⊥ac於點g。求證bf＝cg
四、回家作業
已知、分別是的邊、邊上的高，是邊的中點，分別聯結、、。
（1）當時，垂足、分別落在邊、上，如圖①.求證：.
(2) 當時，垂足、分別落在邊、所在的直線上，如圖②，問（1）中的結論是否依然成立？無需說明理由，直接寫出答案即可；若，試判斷的形狀，簡寫解答過程.
（3）當時，設的度數為，的度數為，求與之間的函式關係式和定義域.
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