自主招生試題選講(清華、北大、交大等)
2009，11
清華大學、上海交通大學、中國科學技術大學、南京大學、西安交通大學五所頂尖大學自主招生上強強聯手，掀開了國內高招史上的新篇章
自主招生試題特點：試題難度高於高考，有的達到競賽難度，試題靈活，毫無規律可尋，但各個學校有自己命題風格。一般說來，各高校對後續性的知識點：
如，函式、不等式、排列組合等內容相對佔比例稍高。
應試策略：1、注重基礎：一般說來，自主招生中，基礎題目分數比例大約佔60-70%
2、適當拓展知識面，自主招生中，有不少內容是超出教材範圍
3、對考生自己所考的院校歷屆真題爭取盡量弄到手，並進行分析。
幾個熱點問題
方程的根的問題：
1. 已知函式，且沒有實數根．那麼是否有實數根？並證明你的結論．（08交大）
2. 設，試證明對任意實數：
（1）方程總有相同實根；
（2）存在，恒有．（07交大）
3.（06交大）設
4. （05復旦）在實數範圍內求方程：的實數根．
5.（05交大）的三根分別為a,b,c，並且a,b,c是不全為零的有理數，求a,b,c的值．
6. 解方程：．求方程（n重根）的解．(09交大)
凸函式問題
1. (2009復旦)
如果乙個函式f(x)在其定義區間內對任意x，y都滿足
，則稱這個函式時下凸函式，下列函式
（12）
（3）（）
（4）中是下凸函式的有
a．(1)(2b. (2)(3c.(3)(4d.(1)(4)
2. （06復旦）設x1,x2∈（0，），且x1≠x2，下列不等式中成立的是：
(1)（tanx1+tanx2）>tan; (2)（tanx1+tanx2） (3)（sinx1+sinx2）>sin; (4)（sinx1+sinx2）a． (1),(3b．(1),(4) c．(2),(3d．(2),(4)
3.（09，清華）證明：
柯西不等式
1．(03交大)已知，x+2y＝1，則的最小值是
2. 已知2x+3y+4z=10，求x2+y2+z2的最小值。
3．p為△abc內一點，它到三邊bc、ca、ab的距離分別為，s為△abc的面積，求證：．（09南大）
4. 給定正整數n和正常數a，對於滿足不等式的所有等差數列a1,a2,a3,…,和式的最大值07復旦）
abcd..
5. （07復旦）當a和b取遍所有實數時，則函式所能達到的最小值為
a.1b.2c.3d.4.
基礎題1. 求的單調區間及極值.(2023年清華)
2.設正三角形邊長為，是的中點三角形，
為除去後剩下三個三角形內切圓面積之和.
求.(2023年清華)
3. 圓內接四邊形abcd中，ab＝1，bc＝2，cd＝3，da＝4，
求abcd的外接圓半徑．(北大2009)
4. 已知一公差為正整數無窮項等差數列，其中有3項：13，25，41．
求證：2009為數列中一項．（2009，北大）
5. 求最小正整數，使得為純虛數，並求出．(06,清華)
6. 已知為非負數，，求的最值．(06,清華)
7. 已知為等差數列，為等比數列，求的值．(06,清華)
8. 比較與的大小並說明理由．（04復旦）
9. 求證：邊長為1的正五邊形對角線長為（08北大）.
10. 四面體abcd中,ab=cd,ac=bd,ad=bc。
（1）求證：這個四面體的四個面都是銳角三角形。
（2）設底面為bcd，設另外三個面與面bcd所形成的二面角為α，β，γ。
求證：cosα+cosβ+cosγ=1。
11.（09清華）（1）證明：
（2）已知x，y，z>0，a，b，c是x，y，z的乙個排列。求證：。
12. 求所有3項的公差為8的自然數數列，滿足各項均為素數。
13. 求所有滿足
的非直角三角形（這裡表示不超過的最大整數）
(2023年南京大學自主招生試題)
14. 求由正整數組成的集合，使中的元素之和等於元素之積(06，清華)。
15.的整數部分為a，小數部分為b。
（1）求a,b； （2）求；
（3）求。（09，清華）
16．（09復旦）.定義全集x的子集ax的特徵函式為
這裡，表示a在x中的補集。那麼，
對a，bx，下列命題中不準確的是
a．ab≤，x
b．，x
c. ，x
d. +，x
17．（09復旦）.半徑為r的球內部裝4個有相同半徑r的小球，則小球半徑r的最大可能值是
a． b. c. d．
中等題18. 給出乙個整係數多項式，
使有乙個根為（2009清華）
19.．通訊工程中常用n元陣列表示資訊，其中或1，．設，，表示和中相對應的元素不同的個數．
（１）問存在多少個5元陣列使得；
（２）問存在多少個5元陣列使得；
（３）令，，，
求證：．（08交大）
20．證明：若f（f（x））有唯一不動點，f（x）也有唯一不動點（09交大）
21. 已知，△abc是正三角形，且b、c在雙曲線一支上.
(1)求證b、c關於直線對稱；
(2)求△abc的周長.(07,清華)
22. 是否存在實數x，使均為有理數？(09，北大)
23．對於集合，稱m為開集，當且僅當，，
使得.判斷集合與是否
為開集，並證明你的結論.(2023年清華)。
25．定義在r上的函式， n=2,3,…
(1) 求； (2) 是否存在常數m>0，，有．（05復旦）
26．已知線段長度為，兩端均在拋物線上，試求的中點到軸的最短距離和此時點的座標．（07交大）
27．有限條拋物線及其內部能否覆蓋整個平面？並證明。（拋物線內部指焦點所在的一側）（09清華）
28． 數列滿足，且，其中
①求證：；
2 求證：。
29.(03交大)求證：為最簡分式．
30.（04復旦）若存在，使任意（為函式的定義域），都有，則稱函式有界．問函式在上是否有界？
31．對於集合，稱m為開集，當且僅當，，
使得. 判斷集合與是否為開集，並證明你的結論.(2023年清華)。
32．已知六邊形ac1ba1cb1中ac1=ab1,bc1=ba1,ca1=cb1,
∠a+∠b+∠c=∠a1+∠b1+∠c1
求證：△abc 面積是六邊形ac1ba1cb1的一半（08，北大）
較難題33．定義閉集合s，若，則，．(1) 舉一例，真包含於r的無限閉集合．(2) 求證對任意兩個閉集合s1,s2r，存在，但．（03復旦）
34．排球單循壞賽，南方球隊比北方球隊多9支，南方球隊總得分是北方球隊的9倍。
求證：冠軍是一支南方球隊（勝得1分敗得0分）(08北大)
35．已知滿足：對實數有，且，
求證恒為零． (05清華)
(可用以下結論：若，為一常數，那麼)
36已知對x，恆成立，求a+b的最大值．(09北大)
37．某次考試共有333名學生做對了1000道題，做對3道及以下為不及格，
6道及以上為優秀，考場中每人做題數目不全同奇偶．
問：不及格者與優秀者哪個多？(09北大)
38. 已知
(08北大)
39。證明:正整數列是常數列的充要條件是其滿足性質p:
對數列中任意2n項,存在一種方法將這2n項分為兩類(每類n個數)，
使得兩類數之和相等.（09清華）40．
清華北大自主招生試題
2010年北大自主招生試題 理科 數學 為變長為1的正五邊形邊上的點，證明 ab最長為 根5 1 2 25分 為y 1 x 2上在y軸兩側的點，求過ab的切線與x軸圍成面積的最小值。25分 3.向量oa與ob已知夾角，oa 1，ob 2，op toa，oq 1 t ob，0 t 1,pq 在t0時取...
清華自主招生申請表
清華大學2007年自主招生申請表 選報型別 普通自主 第一志願報考英語或者日語 第一志願報考國防生或定向生 報考體育特長 個人基本情況所在省份學科類別 理工類 文史類中學學業成績和學科獲獎情況 注 競賽級別分別指校級 省級初賽或省級複賽 國家級。高中階段參與的社會工作和個人特長情況 本人專業志願情況...
清華大學自主招生信
尊敬的清華大學自主招生領導 您好！我是海南省昌江中學高三學生 我希望通過貴校的自主招生來實現我在清華學習的夢想，感謝您在百忙中抽出時間審閱我的申請材料。只從我看了錢鍾書的書後，我就非常崇拜錢鍾書，清華大學曾經是錢鍾書學習的地方，所以我對清華大學有特別的情愫，清華大學的圖書館，是我一直夢寐以求的地方，...