第十一章全等三角形
一、知識點：
本章主要內容：全等三角形的性質；三角形全等的判定；角的平分線的性質.
本章重點：**三角形全等的條件和角的平分線的性質.
難點：三角形全等的判定方法及應用；角的平分線的性質及應用.
基礎知識梳理
教材知識全掃瞄
1． 全等三角形：
1.⑴全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫全等形。
⑵全等三角形的有關概念：能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形；兩個全等三角形重合在一起，重合的頂點叫對應點，重合的邊叫對應邊，重合的角叫對應角。表示：△abc≌△def
教材p3一句話：
2.三角形全等的性質：全等三角形對應邊相等，對應角相等。
全等三角形對應邊上的中線、高、對應角平分線相等。
全等三角形的周長、面積相等。
3.全等三角形的判定：sas，asa，aas，sss，hl（直角三角形）
特別提醒: 「有兩個角和一邊分別相等的兩個三角形全等」這句話正確嗎?由於沒有「對應」二字，結論不一定正確，這是因為：
假設這條邊是兩角的夾邊，則根據角邊角可知正確；假設乙個三角形的一邊是兩角的夾邊，而與另乙個三角形相等的邊是其中一等角的對邊，則兩個三角形不一定全等.
ssa不能判定兩三角形全等的例子在教材p10.
4.尺規作圖：（1）作乙個角等於已知角（教材p7_8）：步驟
（2）作已知角的平分線（教材p19）：步驟
3．角平分線的性質：
⑴角的平分線的性質：角的平分線上的點到角兩邊的距離相等。
⑵角平分線的判定：教的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上。
⑶三角形三個內角平分線的性質：三角形三條內角平分線交於一點，且這一點到三角形三邊的距離相等。
4.實際應用
p9例2，p13練習1，p15t4，p19**，p21思考，p26t4 p27t7
二、經驗與提示
1．尋找全等三角形對應邊、對應角的規律：
① 全等三角形對應角所對的邊是對應邊，兩個對應角所夾的邊是對應邊．
② 全等三角形對應邊所對的角是對應角，兩個對應邊所夾的角是對應角．
③ 有公共邊的，公共邊一定是對應邊．
④ 有公共角的，公共角一定是對應角．
⑤ 有對頂角的，對頂角是對應角．⑥全等三角形中的最大邊(角)是對應邊(角)，最小邊(角)是對應邊(角)
2．找全等三角形的方法
（1）可以從結論出發，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；
（2）可以從已知條件出發，看已知條件可以確定哪兩個三角形相等；
（3）從條件和結論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個三角形全等；
（4）若上述方法均不行，可考慮新增輔助線，構造全等三角形。
3．角的平分線是射線，三角形的角平分線是線段。
4．證明線段相等的方法：
（1）中點定義；
（2）等式的性質；
（3）全等三角形的對應邊相等；
（4）借助中間線段（即要證a=b,只需證a=c,c=b即可）。隨著知識深化，今後還有其它方法。
5．證明角相等的方法：
（1） 對頂角相等；
（2） 同角（或等角）的餘角（或補角）相等；
（3） 兩直線平行，同位角、內錯角相等；
（4） 角的平分線定義
（5） 等式的性質；
（6） 垂直的定義；
（7） 全等三角形的對應角相等；
（8） 三角形的外角等於與它不相鄰的兩內角和。隨著知識的深化，今後還有其它的方法。
6．證垂直的常用方法
（1） 證明兩直線的夾角等於90°；
（2） 證明鄰補角相等；
（3） 若三角形的兩銳角互餘，則第三個角是直角；
（4） 垂直於兩條平行線中的一條直線，也必須垂直另一條。
（5） 證明此角所在的三角形與已知直角三角形全等；
（6） 鄰補角的平分線互相垂直。
7．全等三角形中幾個重要結論
（1） 全等三角形對應角的平分線相等；
（2） 全等三角形對應邊上的中線相等；
（3） 全等三角形對應邊上的高相等。
三、典型例題
題型一運用全等三角形的性質解決角度和邊的長度問題
例1（基礎題）已知△abc≌△def，且∠a=52°，∠b=71°31′，de=8.5 cm，求∠f的大小與ab的長.
分析:由三角形的內角和可求出∠c的度數，根據兩個三角形全等，對應角相等、對應邊相等，即可求出∠f的大小和ab的長.
解: 在△abc中，∠a+∠b+∠c=180°（三角形的內角和等於180°），
∴ ∠c=180°-（∠a+∠b）=180°-（52°+71°31′）=56°29′.
∵ △abc≌△def，de=8.5 cm，
∴ ∠f=∠c=56°29′，ab=de=8.5 cm.
小結：本題是全等三角形的性質與三角形內角和定理的綜合題，要求∠f和ab，可先找∠f的對應角∠c和ab的對應邊de，再根據全等三角形的性質求值.
題型二利用全等變換解決幾何問題
例2 （提高題）如圖所示，圖中是重疊的兩個直角三角形.將其中乙個直角三角形沿bc方向平移得到△def.如果ab＝8 cm，be=4 cm，dh＝3 cm，則圖中陰影部分面積為
即時練習如圖1所示，長方形abcd沿de摺疊，使點c恰好落在ba邊上，得點c′，使
∠c′eb＝40°，求∠edc′的度數.
1. （2009·海南中考）5. 已知圖2中的兩個三角形全等，則∠的度數是
a．72b．60c．58d．50°
2、三角形全等是證明線段相等、角相等最基本、最常用的方法。
例題1、如圖：ab=ac，me⊥ab，mf⊥ac，垂足分別為e、f，me=mf。
求證：mb=mc
例題2、已知，△abc和△ecd都是等邊三角形，且點b，c，d在一條直線上求證：be=ad
3、當題目中有角平分線時，可通過構造等腰三角形或全等三角形來尋找解題思路，或利用角平分線性質去證線段相等
例題3、已知∠b=∠e=90°，ce=cb，ab∥cd.
求證：△adc是等腰三角形
例題4、已知：如圖，ad平分∠bac，de⊥ab於e，df⊥ac於f，db=dc，
求證：eb=fc
4、證明線段的和、差、倍、分問題時，常採用「割長」、「補短」等方法
例題5、如圖,已知ac∥bd，ea、eb分別平分∠cab和∠dba，cd過點e，求證ab=ac+bd
提示：要證明兩條線段的和與一條線段相等時常用的兩種方法：
（1）、可在長線段上擷取與兩條線段中一條相等的一段，然後證明剩餘的線段與另一條線段相等。（割）
（2）、把乙個三角形移到另一位置，使兩線段補成一條線段，再證明它與長線段相等。（補））
三、你能用尺規進行下面幾種作圖嗎？
1、已知三邊作三角形
2、作乙個角等於已知角
3、已知兩邊和它們的夾角作三角形
4、已知兩角和它們的夾邊作三角形
5、已知斜邊和一直角邊作直角三角形
6、作角的平分線
四、學以致用
1、如圖：在△abc中，∠c =90°，ad平分∠ bac，de⊥ab交ab於e，bc=30，bd：cd=3：2，則de
2、如圖，已知e在ab上，∠1=∠2， ∠3=∠4，那麼ac等於ad嗎？為什麼？
3、如圖，已知，eg∥af，請你從下面三個條件中，再選出兩個作為已知條件，另乙個作為結論，推出乙個正確的命題。（只寫出一種情況）①ab=ac ②de=df ③be=cf
已知：eg∥af
求證4、如圖，在r△abc中，∠acb=45°，∠bac=90°，ab=ac，點d是ab的中點，af⊥cd於h交bc於f，be∥ac交af的延長線於e，求證：bc垂直且平分de.
一.選擇題(每題3分,共39分)
1. 兩個三角形只有以下元素對應相等，不能判定兩個三角形全等的是（ ）
a. 兩角和其中一角的對邊 b. 兩邊及夾角 c. 三個角 d. 三條邊
2. 能使兩個直角三角形全等的條件是( )
a. 一銳角對應相等 b. 兩銳角對應相等 c.一條邊對應相等 d.兩直角邊對應相等
3. 假如兩個三角形兩邊對應相等，且其中一邊所對的角也相等，那麼這兩個三角形（ ）
a. 一定全等 b. 一定不全等 c. 不一定全等 d. 面積相等
4. 如圖，△abc≌△bad，點a和點b，點c和點d是對應點，假如ab=6cm，bd=5cm，ad=4cm，那麼bc的長是( )
a. 4cm b. 5cm c. 6cm d. 無法確定
5. 如圖， △abe≌△acd，ab=ac，be=cd，∠b=500，∠aec=1200，則∠dac的度數等於( )
a. 1200 b. 700 c. 600 d.500
6. 某同學把一塊三角形的玻璃打壞成了3塊，現在要到玻璃店去配一塊完全一樣的玻璃，最省事的方法是( )
a. 帶①去 b. 帶②去 c. 帶③去 d. ①②③都帶去
7. 在△abc和△a′b′c′中，已知∠a=∠a′，ab= a′b′，在下面判定中錯誤的是( )
a. 若新增條件ac=a′c′，則△abc ≌△a′b′c′
b. 若新增條件bc=b′c′，則△abc ≌△a′b′c′
c. 若新增條件∠b=∠b′，則△abc ≌△a′b′c′
d. 若新增條件∠c=∠c′，則△abc ≌△a′b′c′
8. 在△abc和△a′b′c′中，①ab= a′b′,②bc= b′c′,③ac= a′c′，④∠a=∠a′，⑤∠b=∠b′，⑥∠c=∠c′，則下列條件組不能保證△abc≌△a′b′c′的是( )
abcd.①③⑤
9．下列各組條件中，能判定△abc≌△def的是( )
a．ab=de，bc=ef，∠a=∠d
b．∠a=∠d，∠c=∠f，ac=ef
c．ab=de，bc=ef，△abc的周長= △def的周長
d．∠a=∠d，∠b=∠e，∠c=∠f
10. 在△abc和△a′b′c′中, ab= a′b′, ∠b=∠b′, 補充條件後仍不一定能保證△abc≌△a′b′c′, 則補充的這個條件是( )
a．bc= b′c′ b．∠a=∠a′ c．ac= a′c′ d．∠c=∠c′
11. 如圖，已知ab=dc，ad=bc，e、f在db上，且bf=de，若∠aeb=1200，∠adb=300，則∠bcf= ( )
第十一章全等三角形小結
小雨，抱歉哈現在才發，有空就對對答案吧，我相信你都能做出來的！我就不詳細寫了，你注意格式就行，28號體能訓練加油啊！第十一章全等三角形小結 一 全等形 能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。二 全等三角形 概念 能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。注意 兩個三角形全等，互相重合的頂點叫做對應點，互相...
第十一章全等三角形總結
一 基礎填空。1 全等形 能夠完全的兩個圖形叫做全等形。2 全等三角形 能夠完全的兩個三角形叫做全等三角形，用符號記做的頂點叫做對應點，重合的邊叫 重合的角叫 3 全等三角形的相等，對應角 4 經過平移 翻摺 旋轉後的圖形與原圖形 5 全等三角形的判定 簡寫 6 角平分線上的點到角兩邊的相等。7 角...
第十一章三角形
第二部分多邊形 一 選擇題 1.八邊形的內角和是 a 3600b 5400c 7200d 10800 2.八邊形的外角和是 a 3600b 5400c 7200d 10800 3.乙個多邊形的內角和是7200，則這個多邊形是 a 四邊形b 五邊形c 六邊形d 七邊形 4.乙個多邊形的每個內角都等於1...