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幾何畫板在高中數學教學中的應用
摘要：本文旨在探索討論幾何畫板這一新型多**軟體在高中數學教學中的應用。第一部分為引言，主要介紹幾何畫板的產生背景和其適用於幾何教學的優勢特點。
第二部分是全文的重點部分，主要是體現幾何畫板在「教」中的作用。本文將高中數學分為代數、立體幾何、平面解析幾何三個大方面。第三部分主要說明幾何畫板在「學」中的作用。
第四部分是小結。幾何畫板是最出色的教學軟體之一。
關鍵詞：幾何畫板;代數;立體幾何;平面解析幾何
一、引言
幾何畫板軟體是由美國key curriculum press公司製作並出版的幾何軟體，它的全名是《幾何畫板--21世紀的動態幾何》，由人民教育出版社漢化。
幾何畫板是乙個適用於幾何（平面幾何、解析幾何、立體幾何等）教學的軟體平台。它以點、線、圓為基本元素，通過對這些基本元素的變換、構造、測量、計算、動畫、跟蹤軌跡等，顯示或構造出其它較為複雜的圖形。它是乙個通用的數學、物理教學環境，為老師和學生提供了乙個探索幾何圖形內在關係的環境。
（一）幾何畫板在高中代數教學中的應用
「函式」是中學數學中最基本、最重要的概念，它的概念和思維方法滲透在高中數學的各個部分。同時，函式是以運動變化的觀點對現實世界數量關係的一種刻畫，這又決定了它是對學生進行素質教育的重要材料[1]。就如華羅庚所說：
「數缺形少直觀，形缺數難入微。」函式的兩種表達方式（解析式和圖象）之間常常需要對照（如研究函式的單調性、討論方程或不等式的解的情況、比較指數函式和對數函式圖象之間的關係等）。為了解決數形結合的問題，在有關函式的傳統教學中多以教師手工繪圖，但手工繪圖有不精確、速度慢的弊端，而應用幾何畫板快速直觀的顯示及變化功能則可以克服上述弊端，大大提高課堂效率，進而起到事倍功半的效果。
具體說來，根據函式的解析式可以用幾何畫板快速作出函式的圖象，並可以在同乙個座標系中作出多個函式的圖象，解決相應的一些函式判斷和證明問題。
圖1應用範例1：判斷函式、和的大小。
解：開啟幾何畫板，在同乙個直角座標系中作出三個函式圖象（如圖1），度量交
點的座標，觀察比較各圖象的形狀和位置，很容易就得出結論：當時，；當時，。
這樣學生再遇到類似的問題就會馬上聯想到幾何畫板的圖形，那麼在考試要求速度的前提下，複雜的小題就迎刃而解了。
再者，幾何畫板可以作出含有若干引數的函式圖象，當引數變化時函式圖象也相應地變化，如在講解函式的圖象時，傳統教學只能將、、代入有限個值，觀察各種情況時的函式圖象之間的關係，利用幾何畫板則可以以線段、的長度和點到軸的距離為引數作圖（如圖2），當拖動兩條線段的某一端點（即改變兩條線段的長度）時分別改變三角函式的首相和週期，拖動點則改變其振幅 。
圖2如此，幾何畫板靈活又不失一般性的特點使得教師在解決三角函式、一次函式等函式的相關證明題時顯得更為得心應手。請看下面兩個例子。
應用範例2：2023年高考理科數學全國卷一的17題[2]：設函式的一條對稱軸是,(1)求。(2)證明直線與函式的圖象不相切。
解：問題（1），很簡單就可以求出來。
問題（2），利用幾何畫板畫出的影象，任取一點作過此點斜率為的直線，由點的任意性知此直線就是，同時作過點的函式影象的切線（如圖3）。這時拖動點在影象上運動，發現兩條直線始終不能重合，學生可以很直觀地看到結論，進而要想用什麼方法來解決這一問題，再觀察兩直線，相交於一點卻始終不重合，只要證明兩直線的斜率永不相等即永遠都不能等於，顯然這是成立的，方法找到了。
圖3應用範例3：證明方程（）的解得個數為奇數[3]。
解：開啟幾何畫板，在上任取一點，度量其橫座標，標籤改為，如圖4在同一座標系裡作出函式與的圖象，拖動點，改變的大小。
由圖知，方程（）解得個數為1或3，所以是奇數。
圖4由此看出，幾何畫板不僅在函式新授課中可以提高課堂效率，更可以在函式題型講解中讓學生自己總結規律，學會尋找解決函式問題的捷徑。
當然，除了函式問題幾何畫板在高中代數其他方面的教學也有很多用途。請看下面的例子。
應用範例4：否定以下猜想[3]
設，，，,則
解：開啟幾何畫板，作線段，**段上取一點，**段上取一點，分別度量線段，，，的長，分別將，，的長與的長的比記為，，；計算的值；拖動點或點的位置，觀察的值的變化情況。如圖5，當，，時，，因而原猜想不成立。
圖5另外，還可以利用幾何畫板借助於圖形對不等式的一些性質、定理和解法進行直觀分析──由「半徑不小於半弦」證明不等式「」 等；再比如，講解數列的極限的概念時，作出數列的圖形（即作出乙個由離散點組成的函式圖象），觀察曲線的變化趨勢，並利用幾何畫板的製表功能以「項數、這一項的值、這一項與的絕對值」列表，幫助學生直觀地理解較難的概念等。
（二）幾何畫板在立體幾何教學中的應用
立體幾何是在學生已有的平面圖形知識的基礎上討論空間圖形的性質。它所用的研究方法是以公理為基礎，直接依據圖形的點、線、面的關係來研究圖形的性質[1]。從平面圖形到空間圖形，從平面觀念過渡到立體觀念，無疑是認識上的一次飛躍。
初學立體幾何時，大多數學生不具備豐富的空間想象能力及較強的平面與空間圖形的轉化能力，主要原因在於人們是依靠對二維平面圖形的直觀來感知和想象三維空間圖形的，而二維平面圖形不可能成為三維空間圖形的真實寫照，平面上繪出的立體圖形受其視角的影響，難以綜觀全域性，其空間形式具有很大的抽象性。如兩條互相垂直的直線不一定畫成交角為直角的兩條直線，正方體的各面不能都畫成正方形等。這樣一來，學生不得不根據歪曲真象的圖形去想象真實情況，這便給學生認識立體幾何圖形增加了困難，而應用幾何畫板將圖形動起來，就可以使圖形中各元素之間的位置關係和度量關係惟妙惟肖，使學生從各個不同的角度去觀察圖形。
這樣，不僅可以幫助學生理解和接受立體幾何知識，還可以讓學生的想象力和創造力得到充分發揮。
例如在講二面角的定義時（如圖6），當拖動點a時，點a所在的半平面也隨之轉動，即改變二面角的大小，圖形的直觀地變動有利於幫助學生建立空間觀念和空間想象力[1]。
圖6在講錐體的體積時，可以演示將三稜柱分割成三個體積相等的三稜錐的過程（如圖8），既避免了學生空洞的想象而難以理解，又鍛鍊了學生用分割幾何體的方法解決問題的能力。在講稜臺的概念時，可以演示由稜錐分割成稜臺的過程（如圖7），更可以讓稜錐和稜臺都轉動起來，使學生在直觀掌握稜臺的定義，並通過稜臺與稜錐的關係由稜錐的性質得出稜臺的性質的同時，讓學生欣賞到數學的美，激發學生學習數學的興趣；
圖7圖8
另外，在用祖
幾何畫板在初中數學教學中的應用體會
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教學反思在高中數學教學中的應用
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