直線和圓的位置關係(2)
教學目標
(一)教學知識點
1．能判定一條直線是否為圓的切線．
2．會過圓上一點畫圓的切線．
3．會作三角形的內切圓．
(二)能力訓練要求
1．通過判定一條直線是否為圓的切線，訓練學生的推理判斷能力．
2．會過圓上一點畫圓的切線，訓練學生的作圖能力．
(三)情感與價值觀要求
經歷觀察、實驗、猜想、證明等數學活動過程，發展合情推理能力和初步演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點．
經歷**圓與直線的位置關係的過程，掌握圖形的基礎知識和基本技能，並能解決簡單的問題．
教學重點
探索圓的切線的判定方法，並能運用．
作三角形內切圓的方法．
教學難點
探索圓的切線的判定方法．
教學方法：師生共同探索法．
教具準備
教學過程
ⅰ．創設問題情境，引入新課
[師]上節課我們學習了直線和圓的位置關係，圓的切線的性質，懂得了直線和圓有三種位置關係：相離、相切、相交．判斷直線和圓屬於哪一種位置關係，可以從公共點的個數和圓心到直線的距離與半徑作比較兩種方法進行判斷，還掌握了圓的切線的性質、圓的切線垂直於過切點的直徑．
由上可知，判斷直線和圓相切的方法有兩種，是否僅此兩種呢？本節課我們就繼續探索切線的判定條件．
ⅱ．新課講解
1．探索切線的判定條件
投影片(§3．5．2a)
如下圖，ab是⊙o的直徑，直線l經過點a，l與ab的夾角∠α，當l繞點a旋轉時，
(1)隨著∠α的變化，點o到l的距離d如何變化？直線l與⊙o的位置關係如何變化？
(2)當∠α等於多少度時，點o到l的距離d等於半徑r？此時，直線l與⊙o有怎樣的位置關係？為什麼？
[師]大家可以先畫乙個圓，並畫出直徑ab，拿直尺當直線，讓直尺繞著點a移動．觀察∠α發生變化時，點o到l的距離d如何變化，然後互相交流意見．
[生](1)如上圖，直線l1與ab的夾角為α，點o到l的距離為d1，d1＜r，這時直線l1與⊙o的位置關係是相交；當把直線l1沿順時針方向旋轉到l位置時，∠α由銳角變為直角，點o到l的距離為d，d＝r，這時直線l與⊙o的位置關係是相切；當把直線l再繼續旋轉到l2位置時，∠α由直角變為鈍角，點o到l的距離為d2，d2＜r，這時直線l與⊙o的位置關係是相離．
[師]回答得非常精彩．通過旋轉可知，隨著∠α由小變大，點o到l的距離d也由小變大，當∠α＝90°時，d達到最大．此時d＝r；之後當∠α繼續增大時，d逐漸變小．第(2)題就解決了．
[生](2)當∠α＝90°時，點o到l的距離d等於半徑．此時，直線l與⊙o的位置關係是相切，因為從上一節課可知，當圓心o到直線l的距離d＝r時，直線與⊙o相切．
[師]從上面的分析中可知，當直線l與直徑之間滿足什麼關係時，直線l就是⊙o的切線？請大家互相交流．
[生]直線l垂直於直徑ab，並經過直徑的一端a點．
[師]很好．這就得出了判定圓的切線的又一種方法：經過直徑的一端，並且垂直於這條直徑的直線是圓的切線．
2．做一做
已知⊙o上有一點a，過a作出⊙o的切線．
分析：根據剛討論過的圓的切線的第三個判定條件可知：經過直徑的一端，並且垂直於直徑的直線是圓的切線，而現在已知圓心o和圓上一點a，那麼過a點的直徑就可以作出來，再作直徑的垂線即可，請大家自己動手．
[生]如下圖．
(1)連線oa．
(2)過點a作oa的垂線l，l即為所求的切線．
3．如何作三角形的內切圓．
投影片(§3．5．2b)
如下圖，從一塊三角形材料中，能否剪下乙個圓使其與各邊都相切．
分析：假設符號條件的圓已作出，則它的圓心到三角形三邊的距離相等．因此，圓心在這個三角形三個角的平分線上，半徑為圓心到三邊的距離．
解：(1)作∠b、∠c的平分線be和cf，交點為i(如下圖)．
(2)過i作id⊥bc，垂足為d．
(3)以i為圓心，以id為半徑作⊙i．
⊙i就是所求的圓．
[師]由例題可知，be和cf只有乙個交點i，並且i到△abc三邊的距離相等，為什麼？
[生]∵i在∠b的角平分線be上，∴id＝im，又∵i在∠c的平分線cf上，∴id＝in，∴id＝im＝in．這是根據角平分線的性質定理得出的．
[師]因此和三角形三邊都相切的圓可以作出乙個，因為三角形三個內角的平分線交於一點，這點為圓心，這點到三角形三邊的距離相等，這個距離為半徑，圓心和半徑都確定的圓只有乙個．並且只能作出乙個，這個圓叫做三角形的內切圓(inscribed circle of ********)，內切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內心(incenter)．
4．例題講解
投影片(§3．5c)
如下圖，ab是⊙o的直徑，∠abt＝45°，at＝ab．
求證：at是⊙o的切線．
分析：at經過直徑的一端，因此只要證at垂直於ab即可，而由已知條件可知at＝ab，所以∠abt＝∠atb，又由∠abt＝45°，所以∠atb＝45°．
由三角形內角和可證∠tab＝90°，即at⊥ab．
請大家自己寫步驟．
[生]證明：∵ab＝at，∠abt＝45°．
∴∠atb＝∠abt＝45°．
∴∠tab＝180°－∠abt－∠atb＝90°．
∴at⊥ab，即at是⊙o的切線．
ⅲ．課堂練習
隨堂練習
ⅳ．課時小結
本節課學習了以下內容：
1．探索切線的判定條件．
2．會經過圓上一點作圓的切線．
3．會作三角形的內切圓．
4．了解三角形的內切圓，三角形的內心概念．
ⅴ．課後作業
習題3．8
ⅵ．活動與**
已知ab是⊙o的直徑，bc是⊙o的切線，切點為b，oc平行於弦ad．
求證：dc是⊙o的切線．
分析：要證dc是⊙o的切線，需證dc垂直於過切點的直徑或半徑，因此要作輔助線半徑od，利用平行關係推出∠3＝∠4，又因為od＝ob，oc為公共邊，因此△cdo≌△cbo，所以∠odc＝∠obc＝90°．
證明：鏈結od．
∵oa＝od，∴∠1＝∠2，
∵ad∥oc，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4．
∵od＝ob，oc＝oc，
∴△odc≌△obc．
∴∠odc＝∠obc．
∵bc是⊙o的切線，
∴∠obc＝90°．
∴∠odc＝90°．
∴dc是⊙o的切線．
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