**——數學教學中的靈動音符
————《用同邊長的正多邊形拼地板(2)》的教學案例
余姚市實驗學校鄭建元
一、情景描述:
（一）以質疑的導學方法增強學生學習的興趣
這是一堂省優教薈萃課，時間是2023年4月29號，地點是余姚市實驗學校階梯教室，這是第三堂同課題的數學課，換班的學生魚貫而入，聽課的老師坐滿後排，緊張的學生開始安靜下來．
師：上節課我們研究了用相同的正多邊形拼地板，為什麼有些正多邊形圍繞一點能夠密鋪，而有些則不能？
學生互相示意了一下，也許這個問題對他們而言並不難，可能是缺少發言的勇氣．少頃，有學生怯生生地開始舉手．
生：當若干個相同的正多邊形圍繞一點拼地板時，如果共頂點的正多邊形內角之和為乙個周角，那麼這幾個正多邊形就能夠圍繞一點密鋪，否則就不能密鋪.
學生回答得很好，而且用詞之精練，出乎老師的意料，畢竟是公開課，學生們也許下過功夫．
師：請舉例說明．（老師繼續微笑著追問）
生：三個正六邊形或四個正方形或六個正三角形能夠圍繞一點密鋪；而正五邊形則不能圍繞一點密鋪．
該學生遲疑了一下，隨即掏筆在自己的草稿紙上比劃了幾下，順利地舉了例子．
師：為方便，我們約定把三個正六邊形記作（6，6，6），類似地把四個正四邊形和六個正三角形分別記作（4，4，4，4）和（3，3，3，3，3，3）．
接著教師演示三種用相同的正多邊形圍繞一點能夠密鋪地板的情況：（6，6，6），（4，4，4，4），（3，3，3，3，3，3）及兩種用相同的正多邊形圍繞一點不能夠密鋪地板的情況（正五邊形、正八邊形）．
當漂亮的多**圖案打出時，學生情不自禁地喊出了「嗬」聲，動畫演示讓學生很是興奮，特別是正五邊形圖案，讓那些不太理解的同學恍然大悟，從頓悟點頭的表情，老師領會到了學生的思想
（二）以自主**的方式進入快樂興趣天地
師：上節課我們學習了用相同的正多邊形拼地板，那麼用多種正多邊形拼地板要滿足什麼條件？本堂課重點來研究用多種正多邊形圍繞一點密鋪時，有哪幾種可能？
接著老師打出用多種正多邊形拼地板的幾個圖案叫學生欣賞，板書課題：用正多邊形拼地板（2）．
學生對老師上述的講話也許一下難以理解，顯得有點茫然，可轉眼立馬被螢幕上幾個漂亮的圖案所吸引．老師趁機發問：上面這些美麗的圖案分別由哪些正多邊形拼成？學生從漂亮的表象中轉過神來，注意力開始集中到數學圖形上，一時間鴉雀無聲，顯然每個同學都在積極地辨認，唯恐落後．一會兒後，有幾個同學幾乎同時舉手，老師選了前排一位．
生：第乙個由正三角形、正方形和正六邊形拼成；第二個由正方形、正六邊形和正十二邊形拼成；第三個由正三角形和正六邊形拼成．
師：你能設計出一些像這樣美麗的圖案嗎？
稍頃，見無人回答，老師接著問：「用多種正多邊形圍繞一點密鋪時應滿足什麼條件？」「（共頂點的）正多邊形內角之和為乙個周角．」學生幾乎異口同聲地回答，但顯然學生沒有考慮到邊的因素，老師提示道：
「邊長有要求嗎？」「要求邊長相等．」有二三個學生幾乎不假思索地回答,看來這些學生僅僅是憑直覺來回答，也許是剛才的幾副圖案所起的作用．
師：用多種正多邊形拼地板，不同種的正多邊形的邊長有時可以不一致，但今天我們只研究邊長一致的情況．
教師在原課題前預留的空位上板書：用同邊長的.至此完整課題:
用同邊長的正多邊形拼地板(2)．教師接著問：「研究用多種正多邊形拼地板時究竟有幾種情況，應從何入手？」學生一時茫然．教師提示：
「我們不妨先從最簡單的情況考慮起．」也許是受了啟發，終於有學生舉手了．
生：先考慮兩種正多邊形拼地板的情況．
師：很好，用兩種同邊長正多邊形能圍繞一點密鋪，誰能舉乙個例子說明．
這個問題並不好回答，學生們很自然又動起起了手，有的開始憑直覺畫，有的則思考演算．很快有學生舉手回答用三個正三角形和兩個正方形能圍繞一點密鋪．教師馬上追問為什麼？
生：因為正三角形和正方形的內角分別為60°和90°,而60°＋60°＋60°＋90°＋90°＝360°.
師（生）：我們可以把三個正三角形和兩個正方形記作（3，3，3，4，4）．
教師打出了（3，3，3，4，4）這個圖案並請同學欣賞.
師：用兩種同邊長正多邊形圍繞一點密鋪，只要滿足共頂點的正多邊形內角之和為乙個周角即可,為研究方便,請同學們參考下表並舉出所有的情況．
這個題目有難度，但同學們積極性很高，當一位同學回答後馬上有學生補充，幾番下來，終於找出了六種情況：（3，12，12），（3，3，6，6），（3，3，3，4，4），（3，3，3，3，6），（4，8，8），（5，5，10）．
教師先後打出符合條件的其中四個圖案並請同學欣賞
師：剛才研究的是用兩種同邊長正多邊形圍繞一點密鋪的六種情況，從上面排列的順序中，對我們研究三種、四種的情況有何幫助？
生：可先考慮含正三角形的,再依次考慮含正方形的,含正五邊形的依次下去.
生：在考慮含正三角形時,可依次考慮含乙個正三角形的,含二個正三角形的,含三個正三角形的,…
生：……
師：很好，剛才考慮問題的方法遵循「先簡單，後複雜，」我們不妨稱之為「由小到大」的思考方法，這種研究方法在科學研究中經常使用，現在就請同學們研究用同邊長的三種正多邊形圍繞一點密鋪的情況，為方便起見，我們先考慮同邊長的三種正多邊形各乙個．
龐大的階梯教室容納了近400名學生和老師，但此時聽不到一點講話的聲音，學生都在低頭思考，教師在同學的中間巡視，從聽課的老師的表情中看出，他們也沉浸在思考之中，過了好一會兒，開始有同學舉手了．
師：找到三種及以上的舉手？（稍停）找到四種及以上的舉手？（稍停）找到五種及以上的舉手？
隨著教師連續的發問，所舉的手漸漸地少了起來，但學生顯得異常興奮，只找到五種以下的急於把漏下的找到，而找到了五種的也不知道是否是最後的結果．又停了一會兒，教師挑了一位找到五種的同學發言．
生：（3，8，24）,（3，9，18）,（3，10，15）,（4，5，20）,（4，6，12）．
師：真棒！（這時教師豎起了大姆指，同學們都被逗笑了）還有補充嗎？
在確定無人應答後教師打出了（4，6，12）這個圖案並請同學們欣賞．
師：剛才我們對用同邊長的三種正多邊形各乙個圍繞一點密鋪共得出了五種
情況，那麼在每一種情況中正多邊形的邊數是否存在著某種聯絡呢？
（三）提供探索的機會，啟用主角研究的興趣
師：通過觀察難以發現什麼規律，我們不妨來研究一般的情況，即：用同邊長的正x邊形、正y邊形、正z邊形各乙個圍繞一點密鋪，則x、y、z應滿足怎樣的關係式？
有了老師的啟發，不少同學手舉得高高的．不一會兒，有學生得出： ++=360的；有學生得出：的；也有學生得出：的，……，教師請得出：這個結論的一位同學上台板書過程．
師：太漂亮了！由此我們得到乙個重要的性質:
若用同邊長的正x邊形、正y邊形、正z邊形各乙個圍繞一點密鋪，則x、y、z應滿足: ．反過來，把看作是關於x、y、z的方程，則滿足的正整數解正好是圍繞一點可以密鋪的正多邊形的邊數．
用正多邊形拼地板，邊數之間竟然隱藏著如此玄妙的聯絡，此時，同學們既驚喜又興奮，似乎有一種「驀然回首，那人卻在燈火闌珊處」的感覺．
「x=3，y=7，z=42，滿足方程嗎？」教師又發問了．學生很快發現，x=3，y=7，z=42是方程的解．此時他們才明白原來（3，7，42）也滿足條件，即同邊長的正三邊形、正七邊形、正四十二邊形各乙個圍繞一點也能密鋪．「那麼剛才為什麼沒有想到呢？」教師繼續追問，同學們臉露愧色，有點難為情，看來光憑直覺和簡單的拼湊，這是淺層次的，用方程的思想來考慮則體現了數學地思考問題,這才是解題的好方法．
師：當正多邊形內角為分數時，也存在密鋪的情況，如在（3，7，42）中，正七邊形、正四十二邊形的內角都是分數．現在還會有遺漏嗎？(稍停)
要真正把所有的情況都找出來，實質上是把滿足的所有正整數解求出即可．但求出的所有正整數解比較複雜，有興趣的同學不妨課外去試一下．
剛才我們研究用同邊長的三種正多邊形圍繞一點密鋪時限定各乙個，如果不限定各乙個，又會有什麼結論呢？
難度提高了，但同學們的**積極性更高了，全體同學全神貫注地盯著老師．
師：我們繼續從最簡單的情況考慮起，想一想這一次應從如何入手？
這次沒有人立即舉手，生怕失誤，想了又想，終於有人舉手回答.
生：先考慮四個．
師：很好，用「由小到大」的思考方法能把所有的情況找出來，不過我們也可嘗試其
它的方法，大家來觀察一開始我們欣賞的圖案，在這個圖案中我們發現了什麼？
生：（3，4，4，6）也符合要求．
師：對，（3，4，4，6）也符合要求，請同學們驗證一下．(稍停)
我們再來觀察剛才用同邊長的三種正多邊形各乙個圍繞一點密鋪的乙個圖案：（4，6，12），我們把乙個正六邊形分成六個全等的正三角形，從中你發現了什麼？
生：（3，3，4，12）也符合要求．
師：剛才我們研究的實質是三種四個同邊長的正多邊形圍繞一點能否密鋪的問題？那麼在三種四個同邊長的正多邊形圍繞一點密鋪的問題中，是否還有其它情況，為什麼？
生：由於60°＋90°＋108°＋108°＝366°＞360°,因此不可能出現其它情況.
師：同理也不可能出現三種五個及更多個同邊長的正多邊形圍繞一點密鋪的情況.用四種及四種以上同邊長正多邊形圍繞一點能否密鋪?
生：由於60°＋90°＋108°＋120°＝378°＞360°,因此不存在圍繞一點密鋪的情況.
這次回答，同學們幾乎異口同聲，水到渠成．
師：請同學們總結一下到目前為止用同邊長的正多邊形圍繞一點密鋪,我們一共研究了哪幾種情況.
二種正多邊形：（3，12，12），（3，3，6，6），（3，3，3，4，4），（3，3，3，3，6），
（4，8，8），（5，5，10）；
畫正多邊形
教材分析 其中讓學生理解畫正多邊形的方法相對較難，因此在教學中教師應多引導學生去嘗試 觀察 歸納。根據本課的教學目標可將教學內容分成三部分，第一部分是認識scratch中 畫筆 模組的一些常用功能 第二部分是在學習畫正多邊形的方法過程中鍛鍊學生的抽象思維 第三部分是拓展應用，培養創新意識。學情分析 ...
正多邊形和圓教學
班級 姓名 主備老師 學習目標 1 正確理解正多邊形的有關概念。2 掌握正多邊形與圓的關係及性質。3 正確掌握正多邊形的有關計算。4 了解用量角器等分圓周的方法，會用尺規作圓的內接正方形和正六邊形。預習導航 1 正多邊形的概念 各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。2 正多邊形與圓的關係 1 將...
24 3 1正多邊形和圓
九年級數學導學案編寫人 陳健審閱人 學案編號 91 24.3.1 24.3.1正多邊形和圓導學案 一 九年級 班組別姓名等級 學習目標 1.掌握正多邊形和圓的關係並會進行計算 2.理解並掌握正多邊形半徑和邊長 邊心距 中心角之間的關係.重點 正多邊形和圓的關係的定理 難點 正多邊形半徑 中心角 弦心...