一、填空題（每小題8分，共64分）
1.已知函式，則
答案：提示： 2.設、兩點分別在拋物線和圓上，則的取值範圍是
答案：提示：由於，則只需要考慮的範圍．而
又，故，故的取值範圍為
3.若，則的最大值為
答案：．
提示：因為，所以
所以，即的最大值為
4.已知△為等腰直角三角形，其中為直角，，過點作平面的垂線，使得，在、上分別取點、，則△周長的最小值為 ．
答案；．
提示：由題意可知，且與之和為如圖，將側面和側面
分別折起至面和，且與側面位於同乙個平面上．則△周長的最小值即面上兩點、之間的線段長．
由前面的分析可知，
由餘弦定理可得，
所以，△周長的最小值為
5.已知函式，對任意的恆成立，則正實數的取值範圍為 ．
答案：提示：由於為奇函式且為增函式，所以等價於
，即 即對任意恆成立．
即所以即
6.已知向量、、滿足，且，若為、的夾角，則的值為 ．
答案：提示：由得，所以
又，所以
又，所以，所以的值為
7.現有乙個能容納10個半徑為1的小球的封閉正四面體容器，則該容器稜長最小值為 ．
答案：提示：這10個小球成稜錐形來放，第一層1個，第2層3個，第3層6個，即每一條稜是3的小球，於是正四面體的一條稜長就應該是4倍的小球的半徑加上2倍的球心到四面體頂點的距離到稜長上射影的長度，又球心到頂點的距離為3，正四面體的高和稜所成角的余弦值為，故容器稜長的最小值為
8.將10個小球（5個黑球和5個白球）排成一行，從左邊第乙個小球開始向右數小球．無論數幾個小球，黑球的個數總不少於白球個數的概率為 ．
答案：提示：方法一如果只有2個小球（1黑1白），那麼黑球的個數總不少於白球個數的概率為；如果只有4個小球（2黑2白），那麼黑球的個數總不少於白球個數的概率為；如果只有6個小球（3黑3白），那麼黑球的個數總數不少於白球個數的概率為；以此類推，可知將10個小球（5黑5白）排成一行，從左邊乙個小球開始向右數小球，無論數幾個小球，黑球的個數不少於白球個數的概率為
方法二直接從10個小球入手分類討論．
二、解答題（第9、10、11、12題各14分，第13、14題各15分）
9.在△中，內角、、對邊的邊長分別是、、，向量
，且滿足．
（1）求△的內角的值；
（2）若，求△的面積．
解 （1）由題意，所以
由正弦定理，可得
整理得．
由餘弦定理可得，又，所以
(2)由可得，
整理得，
當時，，此時，，所以△的面積
當時，上式即為，由正弦定理可得又，解之得，所以△的面積
綜上所述，△的面積
10.已知數列滿足：
（1）求證：數列是等比數列，並求的通項公式；
（2）若，且數列的前項和為，求證：
證 （1）由已知得
因為，所以，兩邊取對數得即
，故為以為首項，為公比的等比數列，即
即（2）方法一由，兩邊取倒數得，所以
，即，故故
方法二由於
則11.設
（1）若對一切恆成立，求的取值範圍；
（2）求證：
解 （1）由得，即．
令，則由得
所以在上單調遞增，在單調遞減．
所以由此得
又時，即為，此時取任意值都成立．
綜上可得
（2）等價於等價於
由（1）知，當時對一切恆成立，即（時取等號）．
取，得即證得：
12. 已知：如圖，兩圓交於、兩點，為一條外公切線，切點分別為、．過任意作一條直線分別交兩圓於、，交於點．
求證：平分
證如圖，鏈結、、延長．由、、、共圓有，同理，
又，所以
故、、、四點共圓．
則（弦切角等於圓周角）．
同理所以
此即為平分
13.設正數、滿足，求使恆成立的實數的最大值．
解由正數、滿足，知
令不等式等價於
等價於等價於
等價於因為
等號僅當，即時成立，所以實數的最大值為
14.已知橢圓及點，過點作直線與橢圓交於、兩點，過、兩點分別作的切線交於．
（1）求的軌跡方程：
（2）求△的面積的最小值．
解 （1）設、、，則過，有
過，有故直線為，由於直線過點，則有，即
故的軌跡方程為
（2）當直線斜率不存在時，即直線的方程為，此時、、所以
當直線的斜率存在時，設直線，即
聯立消去得
於是有又①②，得到與③聯立，可解得，則
可得 令，則
故在區間上單調遞減，上單調遞增，上單調遞減，又所以
於是，當時，△面積的最小值為
全國高中數學聯賽江蘇賽區2023年初賽試題答案
班級姓名 一 填空題 本題共10小題，滿分70分，每小題7分 1 複數 解 2 已知直線是圓的一條對稱軸，則實數 解 直線一定經過圓心，才能是圓的對稱軸 而圓心為，代入直線方程，得 3 某班共有30名學生，若隨機抽查兩位學生的作業，則班長或團支書的作業被抽中的概率是 結果用最簡分數表示 解 事件總數...
2023年全國高中數學聯合競賽湖北省預賽
試題參 及評分標準 說明 1 評閱試卷時，請依據本評分標準。選擇題只設6分和0分兩檔，填空題只設9分和0分兩檔 其他各題的評閱，請嚴格按照本評分標準規定的評分檔次給分，不要再增加其它中間檔次。2 如果考生的解題方法和本解答不同，只要思路合理 步驟正確，在評卷時可參考本評分標準適當劃分檔次評分，5分為...
2023年全國高中數學聯合競賽遼寧省初賽試卷有答案
後有答案 7月5日上午8 30 11 00 一.選擇題 本題滿分30分,每小題5分 本題共有6道小題,每小題給出 a b c d 四個結論,其中只有乙個是正確的.請把正確結論的代表字母寫在題後 答 後面的圓括號內.每小題選對得5分,不選,選錯或選出的代表字母超過乙個 不論是否寫在圓括號內 一律得0分...