上海中考數學「分類討論題」型詳解
整體感悟：分類討論問題是創新性問題之一，此類題綜合性強，難題較大，在歷年中考試題中多以壓軸題出現，對考生的能力要求較高，具有很強的選拔性。
1．代數類：代數有絕對值、方程及根的定義，函式的定義以及點（座標未給定）所在象限等.
2．幾何類：幾何有各種圖形的位置關係，未明確對應關係的全等或相似的可能對應情況等.
3．綜合類：代數與幾何類分類情況的綜合運用.
在數學中，我們常常需要根據研究物件性質的差異，分各種不同情況予以考查．這種分類思考的方法是一種重要的數學思想方法，同時也是一種解題策略．
分類是按照數學物件的相同點和差異點，將數學物件區分為不同種類的思想方法，掌握分類的方法，領會其實質，對於加深基礎知識的理解．提高分析問題、解決問題的能力是十分重要的．正確的分類必須是周全的，既不重複、也不遺漏．
分類的原則：（1）分類中的每一部分是相互獨立的；（2）一次分類按乙個標準；（3）分類討論應逐級有序進行．（4）以性質、公式、定理的使用條件為標準分類的題型.
題型1.考查數學概念及定義的分類
規律提示:熟練掌握數學中的概念及定義，其中以絕對值、方程及根的定義，函式的定義尤為重要，必須明確討論物件及原因，進而確定其存在的條件和標準。
例題1．求函式的圖象與x軸的交點？
點拔：二次項係數中含有引數k，此函式可能是二次函式，也可能是一次函式，故應對分類討論.
解：（1）當時，即時，此函式為，故其與x軸只有乙個交點（1，0）
（2）當時，此函式為二次函式，.①當時，δ＝0.拋物線與x軸的交點只有乙個.，交點座標為（1，0）②當時，δ＞0，函式與x軸有兩個不同的交點..
綜合所述：當或時，函式影象與x軸只有乙個交點（1，0）；當且時，函式影象與x軸有兩個不同交點.
變式思考：已知關於x的方程
（1）若方程有實數根，求k的取值範圍
（2）若等腰三角形abc的邊長a=3，另兩邊b和c恰好是這個方程的兩個根，求δabc的周長.
易誤：根據方程定義確定方程到底是一次方程還是二次方程，同時應注意的是第（2）問中並無說明哪兩邊是δabc的腰，故應考慮其所有可能情況.
題型2：考查字母的取值情況或範圍的分類.
規律提示：此類問題通常在函式中體現頗多，考查自變數的取值範圍的分類，解題中應十分注意性質、定理的使用條件及範圍.
例題2、如圖（1）邊長為2的正方形abcd中，頂點a的座標是（0，2）一次函式的影象隨的不同取值變化時，位於的右下方由和正方形的邊圍成的圖形面積為s（陰影部分）.
（1）當取何值時，s＝3？
（2）在平面直角座標系下（圖2），畫出s與的函式影象.
點拔：設與正方形abcd的交點為m，n，易知δdmn是等腰rtδ，只有當md＝時，，那麼，此時求得，第（2）問中，隨著的變化，s的表示式發生變化，因而須分類討論在不同取值時s的表示式，進而作出影象.
解：（1）設與正方形abcd的交點為m，n，
∵的解析式，在x軸，y軸上所截線段相等.
∴δdmn為等腰rtδdmn
∵s＝3，∴
又∵∴md＝nd＝，∴on＝od－dm＝4－，
即d點的座標為（0，4－）
∴，即當時，s＝3.
（2）∵直線與軸的交點m的座標為
∴當0≤t＜2時，
當2≤t＜4時，
當t≥4時，s＝4
根據以上解析式，作圖如下圖（圖2）
變式思考：如圖所示，在平行四邊形abcd中，，
∠a＝60°，bd⊥ad，一動點p從a出發，以每秒1cm的速度沿的路線勻速運動，過點p作直線pm，使pm⊥ad.
（1）當點p運動2秒時，設直線pm與ad相交於點e，求△ape的面積；
（2）當點p運動2秒時，另一動點q也從a出發沿的路線運動，且在ab上以每秒1cm的速度勻速運動，在bc上以每秒2cm的速度勻速運動.過q作直線qn，使qn//pm.設點q運動的時間為t秒（0≤t≤10），直線pm與qn截平行四邊形abcd所得圖形的面積為scm2.
①求s關於t的函式關係式；②（附加題）求s的最大值.
易誤：討論變數的取值範圍，是解本題的關鍵，解此類題應十分注意變數的取值須符合題意，逐層分析.
題型3．考查圖形的位置關係或形狀的分類.
規律提示：熟知直角三角形的直角，等腰三角形的腰與角以及圓的對稱性，根據圖形的特殊性質，找準討論物件，逐一解決.
例題3、在δabc中，∠bac＝90°，ab＝ac＝，圓a的半徑為1，如圖所示，若點o在bc邊上運動，（與點b和c不重合），
設bo＝x，δaoc的面積為.
（1）求關於的函式解析式，並寫出函式的定義域.
（2）以點o為圓心，bo長為半徑作圓o，求當圓o
與圓a相切時δaoc的面積.
點拔：（1）過點a作ad⊥bc於d點 ∵ab＝ac＝
∴ad＝=2
∴oc=bc－bo=4－x，故δaoc的面積與的函式解析式為即 （2）由於圓與圓相切有兩種情況：外切和內切，故解題中須分類討論.
解：（1）過點a作ad⊥bc於點d.
∵∠bac=90° ab=ac= ∴bc=4 ad＝bc＝2∴即
（2）當點o與點d重合時，圓o與圓a相交，不合題意；當點o與點d不重合時，在rtδaod中，
∵⊙a的半徑為1，⊙o的半徑為x
∴①當⊙a與⊙o外切時
解得此時，δaoc的面積
②當⊙a與⊙o內切時， 解得
此時δaoc的面積
∴當⊙a與⊙o相切時，δaoc的面積為.
變式思考、如圖，直線與x軸，y軸分別交於點m，n
（1）求m，n兩點的座標；
（2）如果點p在座標軸上，以點p為圓心，
為半徑的圓與直線相切，求點p的座標.
易誤：本題是一道函式與圓的綜合題，注意第（2）
小問涉及到分類討論，與直線相切時的情況，本題可分為兩大類，四小類，切勿漏掉，解決此類問題關鍵是把握標準，正確的分類.
題型4.考查圖形的對應關係可能情況的分類
規律提示：圖形的對應關係多涉及到三角形的全等或相似問題，對其中可能出現的有關角、邊的可能對應情況加以分類討論.
例題4、如圖所示，拋物線的頂點為a，直線與y軸的交點為b，其中m＞0.
（1）寫出拋物線對稱軸及頂點a的座標
（用含有m的代數式表示）
（2）證明點a在直線上，並求∠oab的度數.
（3）動點q在拋物線的對稱軸上，則拋物線上是否存在點p，使以p、q、a為頂點的三角形與△oab全等？若存在，求出m的值，並寫出所有符合上述條件的p點座標；若不存在，說明理由.
點撥：（1）對稱軸，頂點a（m,0）（2）把x＝m代入得 ∴點a（m,0）在直線上，直線與y軸相交，則b點的橫座標為：；b點座標為，由三角函式知識可得：
即∠oab＝60° （3）因為全等的對應關係，因而需進行分類論，找準對應關係，從而解決問題。
解：（1）對稱軸為直線，頂點a（m，0）
（2）把代入函式
∴點a（m,0）在直線上.當x=0時，
∴∴∠oab=60°
(3)如圖，以p、q、a為頂點的三角形與δoab全等，共有以下4種情況：
① ∴點的座標為，代入拋物線解析式得： ∴ ∴
② ∴
∴ ∴③ ∴點的座標為代入拋物線解析式得： ∴ ∴
④ ∴點的座標為，代入拋物線解析式得： ∴ ∴
分析可知，關於拋物線對稱軸的對稱點均符合題意；
綜上所述，符合條件的p點分別為；（0，3），，，.
變式思考、已知拋物線的頂點座標為（4，－1）與y軸交於點c（0，3），o是原點.
（1）求這條拋物線的解析式.
（2）設此拋物線與x軸的交點a、b（a在b的左邊），問在y軸上是否存在點，使以o，b，p為頂點的三角形與δaoc相似？若存在，請求出點p的座標，若不存在，請說明理由.
易誤：解決此類問題，必須對三角形全等或相似的性質爛熟於心，對兩三角形的對應角（或邊）進行分類討論，逐步找到符合題意的結論.
中考零距離
一、選擇題
1．若m為實數，則點p（m－2，m+2）不可能在（ ）
a．第一象限 b．第二象限 c．第三象限 d．第四象限
2．相交兩圓公共弦長為6，兩圓的半徑分別為，5，則這兩圓的圓心距等於（ ）
a．1 b．2或6 c．7 d．1或7
3．（2004，河南）如果關於x的方程的兩個根的差為1，那麼m等於（ ）
a． b． c． d．
4．平面上a、b兩點到直線的距離分別是，則線段ab的中點c到直線的距離是（ ）
a．2 b． c．2或 d．不能確定
5．已知是完全平方式，則m的值是（ ）
a．－3 b．10 c．－4 d．10或－4
二、填空題
6．已知ab是⊙o的直徑，ac、ad是弦，且ab＝2，ac＝，ad＝1，則∠cad＝＿＿＿＿＿＿＿.
7．已知ab、cd是⊙o的兩條平行線，ab＝12，cd＝16，⊙o的直徑為20，則ab與cd之間的距離為＿＿＿＿＿＿＿＿.
8．方程的最大根與最小根的積為＿＿＿＿＿＿.
9．（2004 上海）直角三角形的兩條邊長分別為6和8，那麼這個三角形的外接圓半徑等於＿＿＿＿＿＿＿＿.
10．（2004 瀋陽）已知δabc中，∠c＝90°，ac＝3，bc＝4，分別以a和c為圓心作⊙a和⊙c，且⊙c與直線ab不相交，⊙a與⊙c相切，設⊙a的半徑為r，那麼r的取值範圍是＿＿＿＿＿＿.
11．已知，則的值等於＿＿＿＿＿＿＿.
12．在平面直角座標系內，a、b、c三點的座標分別是（0，0），（4，0），（3，2），以a、b、c三點為頂點畫平行四邊形，則第四個頂點不可能在第＿＿＿＿＿象限.
三、解答題
13．已知實數a，b分別滿足的值.
14．在勞技課上，老師請同學們在一張長為17cm，寬16cm的長方形紙板上剪下乙個腰長為10cm的等腰三角形（要求等腰三角形的乙個頂點與長方形的乙個頂點重合，其餘兩個頂點在長方形上的邊上）請你幫助同學們計算剪下的等腰三角形的面積.
15．（2004 蕪湖）在鈍角△abc中，ad⊥bc，垂足為d點，且ad與dc的長度為方程的兩個根，⊙o是△abc的外接圓，如果bd長為.求△abc的外接圓⊙o的面積.
例談如何解數學中的分類討論題
摘要數學教育家波利亞說過 掌握數學意味著解題 解題教學作為教師數學教學的重要組成部分和手段，是培養學生通過解題來掌握鞏固知識，提高能力的主要途徑，不僅如此，解題教學儼然是一門藝術。低階的解題教學就題論題，解完即止，我們不禁追問 解題的思路方法夠簡潔嗎？方法的產生夠自然嗎？更換本題的背景條件，目前的思...
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上海中考數學幾何考點訓練
圖形的初步認識 考點1 圓和扇形 概念 弧長 面積 例1 圓周長的計算 1 已知圓的半徑增大2倍，它的周長增大倍 2 乙個圓的半徑是7厘公尺，另乙個圓的半徑是5厘公尺，他們周長相差 3 如果圓切掉了它的四分之三，那麼現在它的周長是原來的 4 如圖，已知外圈的周長是內圈的4倍，外圓的周長是120cm，...