潞河中學2013屆高三摸底考試題數學（理答案：）一、bddd，bcca
二、9． -21011． 31/16
12． 13． 1/214．
三、解答題：
15. （本小題滿分13分）
解：（ⅰ）因為，
所以，所以.
平方得， =，
所以6分
（ii）因為=
10分 當時，.
所以，當時，的最大值為；
當時，的最小值為13分
16. （本小題滿分13分）
解：（ⅰ）依題意，. ……………4分
（ⅱ）設其中成績為優秀的學生人數為x，則，解得：x=30，即其中成績為優秀的學生人數為30名7分
（ⅲ）依題意，x的取值為0，1，2，
，，，所以x的分布列為
，所以x的數學期望為13分
17. （本小題滿分14分）
證明：（ⅰ）取的中點，連線.
在△中，是的中點，是的中點，所以，
又因為，
所以且.
所以四邊形為平行四邊形，
所以.又因為平面，平面，
故平面4分
解法二：因為平面，，故以為原點，建立如圖所示的空間直角座標系1分由已知可得
2分設平面的乙個法向量是.
由得令，則3分
又因為，
所以，又平面，所以平面4分
（ⅱ）由（ⅰ）可知平面的乙個法向量是.
因為平面，所以.
又因為，所以平面.
故是平面的乙個法向量.
所以，又二面角為銳角，
故二面角的大小為10分
（ⅲ）假設**段上存在一點，使得與所成的角為.
不妨設（），則.
所以，由題意得，
化簡得， 解得.
所以**段上不存在點，使得與所成的角為.…………14分18．（本小題滿分13分）
解：（ⅰ）可求得2分
因為點在函式的影象上，所以
當時，.
當時，適合上式，（┄┄6分
（ⅱ）由（ⅰ）得知=＝,
故tn＝＝＝（1－）.
因此，要使（1－）<（）成立的,
必須且僅須滿足≤，
所以滿足要求的最小正整數為413分
19. （本小題滿分14分）
解：（ⅰ）函式的定義域為，
2分又曲線在點處的切線與直線垂直，
所以，即4分
（ⅱ）由於．
當時，對於，有在定義域上恆成立，
即在上是增函式．
當時，由，得．
當時，，單調遞增；
當時，，單調遞減8分
（ⅲ）當時， ．
令．10分
當時，，在單調遞減．
又，所以在恒為負．
所以當時，．
即．故當，且時，成立14分
20. （本小題滿分14分）
（ⅰ）設，
由得，，
2分由已知，
又，所以4分
所以，即5分
所以，解得6分
符合題意，
所以，所求直線的方程為或. …………………7分（ⅱ），，，
所以8分
平方得9分
又，所以，同理，代入上式，
計算得，即，
所以，解得或
因為，，所以異號，故捨去，
所以13分
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