2023年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題
一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題後的括號內.
（1）設，則的零點個數為（ ）
0 1. 2 3
（2）曲線方程為函式在區間上有連續導數，則定積分（ ）
曲邊梯形面積.
梯形面積.
曲邊三角形面積.
三角形面積.
（3）在下列微分方程中，以（為任意常數）為通解的是（ ）
（5）設函式在內單調有界，為數列，下列命題正確的是（ ）
若收斂，則收斂若單調，則收斂.
若收斂，則收斂若單調，則收斂.
（6）設函式連續，若，其中區域為圖中陰影部分，則
（7）設為階非零矩陣，為階單位矩陣. 若，則（ ）
不可逆，不可逆不可逆，可逆.
可逆，可逆可逆，不可逆.
（8）設，則在實數域上與合同的矩陣為（ ）
二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.
（9） 已知函式連續，且，則.
（10）微分方程的通解是.
（11）曲線在點處的切線方程為.
（12）曲線的拐點座標為______.
（13）設，則.
（14）設3階矩陣的特徵值為.若行列式，則.
三、解答題：15－23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
(15)（本題滿分9分）
求極限.
(16)（本題滿分10分）
設函式由引數方程確定，其中是初值問題的解.求.
(17)（本題滿分9分）求積分.
(18)（本題滿分11分）
求二重積分其中
(19)（本題滿分11分）
設是區間上具有連續導數的單調增加函式，且.對任意的，直線，曲線以及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周生成一旋轉體.若該旋轉體的側面積在數值上等於其體積的2倍，求函式的表示式.
(20)（本題滿分11分）
(1) 證明積分中值定理：若函式在閉區間上連續，則至少存在一點，使得
(2)若函式具有二階導數，且滿足，證明至少存在一點
（21）（本題滿分11分）
求函式在約束條件和下的最大值與最小值.
（22）（本題滿分12分）
設矩陣，現矩陣滿足方程，其中，，
（1）求證；
（2）為何值，方程組有唯一解，並求；
（3）為何值，方程組有無窮多解，並求通解.
（23）（本題滿分10分）
設為3階矩陣，為的分別屬於特徵值特徵向量，向量滿足，
（1）證明線性無關；
（2）令，求.
2023年全國碩士研究生入學統一考試數學二試題解析
一、選擇題
(1)【答案】
【詳解】因為，由羅爾定理知至少有，使，所以至少有兩個零點. 又中含有因子，故也是的零點， d正確.
本題的難度值為0.719.
(2)【答案】
【詳解】
其中是矩形aboc面積，為曲邊梯形abod的面積，所以為曲邊三角形的面積．
本題的難度值為0.829.
(3)【答案】
【詳解】由微分方程的通解中含有、、知齊次線性方程所對應的特徵方程有根，所以特徵方程為，即. 故以已知函式為通解的微分方程是
本題的難度值為0.832.
(4) 【答案】
【詳解】時無定義，故是函式的間斷點
因為同理又所以是可去間斷點，是跳躍間斷點.
本題的難度值為0.486.
(5)【答案】
【詳解】因為在內單調有界，且單調. 所以單調且有界. 故一定存在極限.
本題的難度值為0.537.
(6)【答案】
【詳解】用極座標得
所以本題的難度值為0.638.
(7) 【答案】
【詳解】，
故均可逆．
本題的難度值為0.663.
(8) 【答案】
【詳解】記，
則，又所以和有相同的特徵多項式，所以和有相同的特徵值.
又和為同階實對稱矩陣，所以和相似．由於實對稱矩陣相似必合同，故正確.
本題的難度值為0.759.
二、填空題
(9)【答案】2
【詳解】
所以本題的難度值為0.828.
(10)【答案】
【詳解】微分方程可變形為
所以本題的難度值為0.617.
(11)【答案】
【詳解】設，則，
將代入得，所以切線方程為，即
本題的難度值為0.759.
(12)【答案】
【詳解】
時，；時，不存在
在左右近旁異號，在左右近旁，且
故曲線的拐點為
本題的難度值為0.501.
(13)【答案】
【詳解】設，則
所以所以本題的難度值為0.575.
(14)【答案】-1
【詳解】
本題的難度值為0.839.
三、解答題
(15)【詳解】
方法一：
方法二：
本題的難度值為0.823.
(16)【詳解】
方法一：由得，積分並由條件得，即
所以方法二：由得，積分並由條件得，即
所以所以本題的難度值為0.742.
(17)【詳解】
方法一：由於，故是反常積分.
令，有，
方法二：
令，有，
故，原式
本題的難度值為0.631.
(18)【詳解】 曲線將區域分成兩
個區域和，為了便於計算繼續對
區域分割，最後為
本題的難度值為0.524.
(19)【詳解】旋轉體的體積，側面積，由題設條件知
上式兩端對求導得 ， 即
由分離變數法解得 ， 即
將代入知，故，
於是所求函式為
本題的難度值為0.497.
(20)【詳解】(i) 設與是連續函式在上的最大值與最小值，即
由定積分性質，有，即
由連續函式介值定理，至少存在一點，使得
即(ii) 由(i)的結論可知至少存在一點，使
又由 ，知
對在上分別應用拉格朗日中值定理，並注意到，得
在上對導函式應用拉格朗日中值定理，有
本題的難度值為0.719.
(21)【詳解】
方法一：作拉格朗日函式
令解方程組得
故所求的最大值為72，最小值為6.
方法二：問題可轉化為求在條件下的最值
設令解得，代入，得
故所求的最大值為72，最小值為6.
本題的難度值為0.486.
(22)【詳解】(i)證法一：
證法二：記，下面用數學歸納法證明．
當時，，結論成立．
當時，，結論成立．
假設結論對小於的情況成立．將按第1行展開得
故證法三：記，將其按第一列展開得 ，
所以即(ii)因為方程組有唯一解，所以由知，又，故．
由克萊姆法則，將的第1列換成，得行列式為
所以(iii)方程組有無窮多解，由，有，則方程組為
此時方程組係數矩陣的秩和增廣矩陣的秩均為，所以方程組有無窮多解，其通解為
為任意常數．
本題的難度值為0.270.
(23)【詳解】(i)
證法一：假設線性相關．因為分別屬於不同特徵值的特徵向量，故線性無關，則可由線性表出，不妨設，其中不全為零(若同時為0，則為0，由可知，而特徵向量都是非0向量，矛盾)
，又，整理得：
則線性相關，矛盾. 所以，線性無關.
證法二：設存在數，使得1)
用左乘(1)的兩邊並由得
2)(1)—(2)得3)
因為是的屬於不同特徵值的特徵向量，所以線性無關，從而，代入(1)得，又由於，所以，故線性無關.
(ii) 記，則可逆，
所以 .
本題的難度值為0.272.
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