在近幾年的高考試題中，有關探索性問題頻頻出現，涉及代數、三角、幾何，成為高考的熱點之一。正因如此，初等數學中有關探索性問題也就成為大家研究的熱點。多年來筆者對此也做了一些**。
探索性問題是一種具有開放性和發散性的問題，此類題目的條件或結論不完備。要求解答者自己去探索，結合已有條件，進行觀察、分析、比較和概括。它對學生的數學思想、數學意識及綜合運用數學方法的能力提出了較高的要求。
它有利於培養學生探索、分析、歸納、判斷、討論與證明等方面的能力，使學生經歷乙個發現問題、研究問題、解決問題的全過程。
探索性問題一般可分為：條件追溯型，結論探索型、條件重組型，存在判斷型，規律**型，實驗操作型。每一種型別其求解策略又有所不同。
因此，我們在求解時就必須首先要明辨它是哪一種型別的探索問題，然後再根據所屬型別制定解題策略。下面分別加以說明：
一、條件追溯型
這類問題的基本特徵是：針對乙個結論，條件未知需探索，或條件增刪需確定，或條件正誤需判斷。解決這類問題的基本策略是：
執果索因，先尋找結論成立的必要條件，再通過檢驗或認證找到結論成立的充分條件。在「執果索因」的過程中，常常會犯的乙個錯誤是不考慮推理過程的可逆與否，誤將必要條件當作充分條件，應引起注意。
例1．（2023年上海10）設函式是偶函式，則t的乙個可能值是
分析與解答：∵函式
∴。由此可得
∴評注：本題為條件探索型題目，其結論明確，需要完備使得結論成立的充分條件，可將題設和結論都視為已知條件，進行演繹推理推導出所需尋求的條件．這類題要求學生變換思維方向，有利於培養學生的逆向思維能力．
二、結論探索型
這類問題的基本特徵是：有條件而無結論或結論的正確與否需要確定。解決這類問題的策略是：
先探索結論而後去論證結論。在探索過程中常可先從特殊情形入手，通過觀察、分析、歸納、判斷來作一番猜測，得出結論，再就一般情形去認證結論。
例2． （2023年上海文12）若干個能惟一確定乙個數列的量稱為該數列的「基本量」。設是公比為q的無窮等比數列，下列的四組量中，一定能成為該數列「基本量」的是第組。（寫出所有符合要求的組號）。
①s1與s2；②a2與s3；③a1與an；④q與an.
其中n為大於1的整數，sn為的前n項和。
分析與解答：（1）由s1和s2，可知a1和a2。由可得公比q，故能確定數列是該數列的「基本量」。
（2）由a2與s3，設其公比為q，首項為a1，可得∴∴
滿足條件的q可能不存在，也可能不止乙個，因而不能確定數列，故不一定是數列的基本量。
（3）由a1與an，可得，當n為奇數時，q可能有兩個值，故不一定能確定數列，所以也不一定是數列的乙個基本量。
（4）由q與an，由，故數列能夠確定，是數列的乙個基本量。
故應填①、④
評注：數學需要解題，但題海戰術絕對不是學習數學的最佳策略。本題考查確定等比數列的條件，要求正確理解等比數列和新概念「基本量」的意義。
如何能夠跳出題海，事半功倍，全面考察問題的各個方面，不僅可以訓練自己的思維，而且可以縱觀全域性，從整體上對知識的全貌有乙個較好的理解．
例3（2002上海）．規定，其中，是正整數，且，這是組合數（n，m是正整數，且）的一種推廣．
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）組合數的兩個性質：①；②
是否都能推廣到（，是正整數）的情形？若能推廣，則寫出推廣的形式並給出證明；若不能，則說明理由；
（ⅲ）我們知道，組合數是正整數．那麼，對於，，是正整數，是否也有同樣的結論？你能舉出一些成立的例子嗎？
分析與解答：（ⅰ）．
（ⅱ）乙個性質是否能推廣的新的數域上，首先需要研究它是否滿足新的定義．從這個角度很快可以看出：性質①不能推廣．例如當時，有定義，但無意義．
性質②如果能夠推廣，那麼,它的推廣形式應該是：，其中，是正整數．
模擬於性質①的思考方法，但從定義上是看不出矛盾的，那麼，我們不妨仿造組合數性質的證明過程來證明這個結論．事實上，
當時，．當時，
由此，可以知道，性質②能夠推廣．
（ⅲ）從的定義不難知道，當且時， 不成立，下面，我們將著眼點放在的情形．
先從熟悉的問題入手．當時，就是組合數，故．
當且時，推廣和探索的一般思路是：能否把未知的情形（，且）與已知的結論相聯絡？
一方面再一次考察定義：；另一方面，可以從具體的問題入手．
由（ⅰ）的計算過程不難知道：．另外，我們可以通過其他例子發現類似的結論．因此，將轉化為可能是問題解決的途徑．
事實上，當時，
．①若，即，則為組合數，故．
②若，即時，無法通過上述方法得出結論，此時，由具體的計算不難發現：＝0……，可以猜想，此時．
這個結論不難驗證．事實上，當時，在這m個連續的整數中，必存在某個數為0．所以，．
綜上，對於且為正整數，均有．
評注：模擬是創造性的「模仿」，聯想是「由此及彼」的思維跳躍．在開放題的教學中，引導學生將所求的問題與熟知的資訊相模擬，進行多方位的聯想，將式子結構、運算法則、解題方法、問題的結論等引申、推廣或遷移，可由已知探索未知，由舊知探索新知，這既有利於培養學生的創新思維能力，又有利於提高
學生舉一反
三、觸類旁通的應變靈活性．
三條件重組型
這類問題是指給出了一些相關命題，但需對這些命題進行重新組合構成新的復合命題，或題設的結求的方向，條件和結論都需要去探求的一類問題。此類問題更難，解題要有更強的基礎知識和基本技能，需要要聯想等手段。一般的解題的思路是通過對條件的反覆重新組合進行逐一探求。
應該說此類問題是真正意義上的創新思維和創造力。
例4 （2023年全國）α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外
的兩條不同的直線，給出四個論斷：
①m⊥nnm⊥α
以其中的三個論斷作為條件，餘下乙個論斷作為結論，寫出你認為正確的乙個命題
分析：本題給出了四個論斷，要求其中三個為條件，餘下乙個為結論，用列舉法分四種情況逐一驗證。
分析與解答：依題意可得以下四個命題：
(1)m⊥n， α⊥β， n⊥βm⊥α；(2)m⊥n， α⊥β， m⊥αn⊥β；
(3)m⊥α， n⊥β， m⊥αα⊥β；(4)α⊥β，n⊥β，m⊥αm⊥n。
不難發現，命題(3)、(4)為真命題，而命題(1)、(2)為假命題。故填上命題(3)或(4)。
例5． （2023年北京）已知三個不等式：（其中a，b，c，d均為實數），用其中兩個不等式作為條件，餘下的乙個不等式作為結論組成乙個命題，可組成的正確命題的個數是（ ）
a、0b、1c、2d、3
分析與解答：若∴若
故三個命題均為真命題，選d。
四、存在判斷型
這類問題的基本特徵是：要判斷在某些確定條件下的某一數學物件(數值、圖形、函式等)是否存在或某一結論是否成立。解決這類問題的基本策略是：
通常假定題中的數學物件存在(或結論成立)或暫且認可其中的一部分的結論，然後在這個前提下進行邏輯推理，若由此匯出矛盾，則否定假設；否則，給出肯定結論。
其中反證法在解題中起著重要的作用。
例6、（2023年福建）已知上是增函式。
（1）求實數a的值組成的集合a；
（2）設關於x的方程的兩個非常零實根為x1、x2，試問：是否存在實數m，使得不等式對任意恆成立？若存在，求m的取值範圍；若不存在，請說明理由。
分析與解答：（1），
∴f(x)在[－1，1]上是增函式，
即x2－ax－2≤0,對x∈[－1，1]恆成立
設（2）
∴m≥2或m≤－2.
所以，存在實數m，使不等式
評注：「存在」就是有，證明有或者可以找出乙個也行。「不存在」就是沒有，找不到。
這類問題常用反證法加以認證。「是否存在」的問題，結論有兩種：如果存在，找出乙個來；如果不存在，需說明理由。
這類問題常用「肯定順推」。
例7、(2023年天津) 已知常數a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），經過原點o以c+λi為方向向量的直線與經過定點a（0，a）以i－2λc為方向向量的直線相交於點p，其中λ∈r.試問：是否存在兩個定點e、f，使得|pe|+|pf|為定值.
若存在，求出e、f的座標；若不存在，說明理由.
分析與解答：根據題設條件，首先求出點p座標滿足的方程，據此再判斷是否存在兩定點，使得點p到兩定點距離的和為定值.
∵i=(1,0),c=(0,a), ∴
因此，直線op和ap的方程分別為y=ax和y－a=－2ax .消去引數，得點p（x,y）的座標滿足方程y (y－a)=－2a2x2 ,整理得 ①
因為a>0，所以得：
（i）當a=時，方程①是圓方程，故不存在合乎題意的定點e和f；
（ii）當0 （iii）當a>時，方程①表示橢圓，焦點e和f））為合乎題意的兩個定點.
評注：假設存在，按常規方法去求解，但要注意對進行討論。
五、規律**型
這類問題的基本特徵是：未給出問題的結論，需要由特殊情況入手，猜想、證明一般結論。解決這類問題的基本策略是：
通常需要研究簡化形式但保持本質的特殊情形，從條件出發，通過觀察、試驗、歸納、模擬、猜測、聯想來探路，解題過程中創新成分比較高。在數列問題研究中，經常是據數列的前幾項所提供的資訊作大膽的猜測，然後用數學歸納法證明，限於篇幅這樣的例子不在列舉。
下面來看：
例8、（2023年全國理）已知函式那麼
分析與解答：考察函式可發現左式構成規律：，於是立得結論為。若直接代入費力又費時。
評注：本題要求學生在陌生的問題情境中能自主探索，提取相關資訊，獲得規
律，從而解決問題。
例9、（2023年上海）在稜長為的正方體中，e、f分別是稜ab、bc上的動點，且ae＝bf。
（1）求證：
（2）當三稜錐的體積取得最大值時，
求二面角的大小（結果用反三角函式表示）
分析與解答：如圖(2)：（1）中e、f雖在稜上運動，但始終體現出直線的乙個不變關係，而不變，故只要去證即可達到目的。
（2）中尋求的是e、f在變化過程中二面角的最值狀態，易看到該三稜錐的高一定，因此，只要底面面積最大即可。考察e、f在變化過程中當e由a向b運動時，的面積先由小漸大到一定值後又漸小，因此，在e為ab的中點時該三稜錐的體積取得最大值，從而解決問題。
高考數學複習點撥探索性問題揭秘
探索性問題揭秘 探索性問題又叫開放型問題，此類問題作為立體幾何的一種創新題型，在近幾年的高考中正方興未艾.和我們司空見慣的封閉型問題恰好相反，探索性問題沒有明確的條件或結論，條件或結論是什麼或有沒有需要通過探索才能知曉.正因為如此，探索性問題往往令很多同學望而卻步，不知所措.鑑於此，本文就揭秘空間垂...
文章 中考中的探索性問題
探索規律性問題是近幾年中考的中的必備題型，解這類問題的基本思路是 由特殊向一般轉化，通過觀察 分析若干個特殊情況，探求它們的規律，再綜合歸納，得出一般性結論.下面以中考試題為例來加以說明 一 探索規律數 例1 瑞士中學教師巴爾末成功地從光譜資料，中得到巴爾末公式，從而開啟了光譜奧妙的大門.請你按這種...
立體幾何中的探索性問題
一 探索條件，即探索能使結論成立的條件是什麼.對命題條件的探索常採用以下兩種方法 1 先猜後證，即先觀察，嘗試給出條件然後給出證明 2 把幾何問題轉化為代數問題，探索出命題成立的條件.二 探索結論，即在給定的條件下命題的結論是什麼.對命題結論的探索，常從條件出發，探索出要求的結論是什麼，另外還有探索...