北京市西城區2023年抽樣測試
高三數學試卷（理科）
2004．5
學校班級姓名
參考公式：
三角函式的和差化積公式
正稜臺、圓台的側面積公式
其中、c分別表示上下底面周長，l表斜高或母線長
球體的體積公式
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．雙曲線的兩條準線方程是（ ）
a． b． c． d．
2．不等式(2x-1)(1-|x|)<0成立的充要條件是（ ）
a．x>1，或b．x>1，或
cd．x<-1，或
3．在極座標系中，定點，點b在直線上移動．當線段ab最短時，點b極的座標是（ ）
a． b． c． d．
4．已知α，β表示平面，m，n表示直線．下列命題中正確的是（ ）
a．若α//β，，則m//n
b．若α⊥β，，，則m⊥n
c．若m⊥α，n⊥β，m//n，則
d．若m//α，n//β，m⊥n，則α⊥β
5．函式的反函式是（ ）
a．，x∈（1，3） b．，x∈（1，3）
c．，x∈（1，3] d．，x∈（1，3]
6．在復平面內，向量對應的複數是2+i，向量對應的複數是-1-3i，則向量對應的複數為（ ）
a．1-2i b．-1+2i c．3+4i d．-3-4i
7．設集合a=，a、b∈a，則方程表示焦點位於y軸上的橢圓有（ ）
a．5個 b．10個 c．20個 d．25個
8．人口問題是我國最大的社會問題之一，估計人口數量和發展趨勢是我們制定一系列相關政策的基礎．由人口統計年監，可查得我國從2023年至2023年人口資料資料如下：
（單位：億）
由此可估算出我國2023年的人口數為（ ）
a．13.02億 b．13.22億 c．13.42億 d．13.66億
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．把答案填在題中橫線上．
9．如果函式是奇函式，則f(x
10．設正方體的稜長為a，則以其六個面的中心為頂點的多面體的體積是
11．函式在[1，2]上最大值比最小值大，則a的值是
12．直線l截圓所得弦ab 的中點是，則直線l的方程為ab
13．函式的最大值是
14．如圖，個正數排成n行n列方陣．符號表示位於第i行第j列的正數．已知每一行的數成等差數列，每一列的數成等比數列，且各列數的公比都等於q．若，，．則q
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．
15．（本題滿分12分）
設x∈r，函式．已知f(x)的最小正週期為π，且．
（ⅰ）求ω和的值；
（ⅱ）求f(x)的單調遞增區間．
16．（本題滿分14分）
如圖，正三稜柱中，e是ac中點．
（ⅰ）求證：平面；
（ⅱ）求證：；
（ⅲ）若，求二面角的大小．
17．（本題滿分13分）
設函式f(x)=,其中0＜a＜1．
（ⅰ）證明f(x)是（a，+）上的減函式；
（ⅱ）解不等式f(x)＞1．
18．（本題滿分14分）
已知定點a（-2，-4），過點a作傾斜角為45°的直線l．交拋物線(p＞o)於b、c兩點，且|ab|，|bc|，|ac|成等比數列．
（ⅰ）求拋物線方程；
（ⅱ）在（ⅰ）中的拋物線上是否存在點d，使得|db|=|dc|成立？如果存在，求出點d的座標；如果不存在，請說明理由．
19．（本題滿分13分）
如圖，．為了保證質量，有時再插入兩個合適的同號標準圓柱，分別與三圓柱相切．記a、b、c依次為直徑2cm、3cm、1cm的圓柱截面圓的圓心，求插入的兩個標準圓柱的直徑．
20．（本題滿分14分）
已知正項數列和中， (0＜a＜1），．當n≥2時，
．（ⅰ）證明：對任意，有；
（ⅱ）求數列的通項公式；
（ⅲ）記，為數列的前n項和．求的值．
高三數學(理科)參***及評分標準
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．
1．c 2．b 3．d 4．c 5．a 6．d 7．b 8．b
二、填空題：本大題共６小題，每小題５分，共30分．
9．2x+3 (5分) 10． (5分) 11． (只答對乙個給2分)
12． (第乙個空2分，第二個空3分)．
13． (5分)
14．； (第乙個空2分，第二個空3分)
三、解答題：本大題共6小題，共80分，其它解法，請仿此給分．
15．(本題滿分12分)
（ⅰ）解：
4分∵f(x)的最小正週期為6分
∵ ∴
8分（ⅱ）解：由(ⅰ）得，
∴當時,
即時，f(x)單調遞增．
∴f(x)的單調遞增區間是12分
16．（本題滿分14分）
(ⅰ）證明：∵是正三稜柱，∴∴
∵△abc是正三角形，e是ac中點，
∴∴, 又∵
∴平面4分
(ⅱ）證明：連
∵是正三稜柱，
∴是矩形，d是的中點．
∵e是ac的中點，
∴∥de． ∵，
∴∥平面8分
(ⅲ）解：作，於g，連cg．
∵平面，
9分∴fg是cg在平面上的射影．
∴根據三垂線定理得，
∴∠cgf是二面角的平面角11分
設，∵，則．
在中，，
在中，．
在中，∵，∴．
∴二面角的大小是4514分
17．（本題滿分13分）
（ⅰ）證明：任取，且，
…………3分
∵，…………5分
∵，∴．
即，∴．
∴，∴上的減函式．……………………7分
（ⅱ）解：[解法1] ∵，
∴……………………10分
解不等式(1)得，x>a或x<0，
解不等式(2)得，，
∵0∴原不等式解集為13分
[解法2] 函式f(x)的定義域為{x|x>a或x<08分
∵0∴，不合題意10分
當x>a時，解方程f(x)=1，得．
由（ⅰ）知f(x)是上的減函式，∴f(x)>1時，．
∵，∴原不等式解集為．……………………13分
18．（本題滿分14分）
（ⅰ）解：直線l方程為y=x-2，將其代入，整理為2分
∵p>0，∴．
設．4分
∵|ab|，|bc|，|ac|成等比數列，
∴．∴，
整理為，．
將代入上式，解得p=1．
∴拋物線方程7分
（ⅱ）解：假設在拋物線上存在點，使得|db|+|dc|成立，
記線段bc中點為．
則．………………10分
當p=1時，①式成為．
∴，．∴點應滿足12分
解得，．
∴存在點或（8,-4），使得|db|=|dc|成立14分
19．（本題滿分13分）
解：以經過三圓心a、b、c的直線為x軸，b為原點，建立直角座標系．……………1分
設所求圓d的半徑為rcm，鏈結da、dc，
連bd並延長交⊙b於點e．∵∴．
∴點d在以a、b為焦點，長軸長為的橢圓上．
∵，∴．
∴該橢圓方程為……………………5分
又∵，∴|db|+|dc|=2>|bc|
同理，點d還在以b、c為焦點，長軸長為2的橢圓上，
其方程為9分
由，解得或．………………11分
∴．∴插入的兩個標準圓柱的直徑是cm13分
20．（本題滿分14分）
（ⅰ）證明：用數學歸納法證明：
①當n=1時，，命題成立1分
②假設n=k時命題成立，即，則當n=k+1時，
．∴當n=k+1時,命題也成立．
綜合①、②知，對恆成立5分
（ⅱ）解：∵，
∴，即8分
∴數列是公差為1的等差數列，其首項是．
∴，從而10分
（ⅲ）解：∵，
③式變形為，
12分∴
．14分[注：如果學生未證出（ⅰ），而使用（ⅰ）的結論正確解答出（ⅱ）、（ⅲ），則獨立給（ⅱ）、（ⅲ）的分數]
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