北京市西城區2023年高三二模試卷
高三數學（文科） 2013.5
第ⅰ卷（選擇題共40分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．
第ⅱ卷（非選擇題共110分）
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．
9．已知直線，．若∥，則實數______．
10．右圖是甲，乙兩組各名同學身高（單位：）資料
的莖葉圖．記甲，乙兩組資料的平均數依次為和，
則______． （填入：「」，「」，或「」）
11．在△中，，，，則______；△的面積是______．
12．設，隨機取自集合，則直線與圓有公共點的概率是
______．
13．已知命題函式在上單調遞增；命題不等式的解集是．若且為真命題，則實數的取值範圍是______．
14．在直角座標系中，已知兩定點，．動點滿足則點構成的區域的面積是______；點構成的區域的面積是______．
三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（本小題滿分13分）
已知等比數列的各項均為正數，，．
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）設．證明：為等差數列，並求的前項和．
16．（本小題滿分13分）
如圖，在直角座標系中，角的頂點是原點，始邊與軸正半軸重合，終邊交單位圓於點，且．將角的終邊按逆時針方向旋轉，交單位圓於點．記．
（ⅰ）若，求；
（ⅱ）分別過作軸的垂線，垂足依次為．記△
的面積為，△的面積為．若，求角的值．
17．（本小題滿分14分）
如圖1，在四稜錐中，底面，面為正方形，為側稜上一點，為上一點．該四稜錐的正（主）檢視和側（左）檢視如圖2所示．
（ⅰ）求四面體的體積；
（ⅱ）證明：∥平面；
（ⅲ）證明：平面平面．
18．（本小題滿分13分）
已知函式，其中．
（ⅰ）若，求曲線在點處的切線方程；
（ⅱ）求在區間上的最小值．
19．（本小題滿分14分）
如圖，橢圓的左頂點為，是橢圓上異於點的任意一點，點與點關於點對稱．
（ⅰ）若點的座標為，求的值；
（ⅱ）若橢圓上存在點，使得，求的取值範圍．
20．（本小題滿分13分）
已知集合是正整數的乙個排列，函式
對於，定義：，，稱為的滿意指數．排列為排列的生成列．
（ⅰ）當時，寫出排列的生成列；
（ⅱ）證明：若和為中兩個不同排列，則它們的生成列也不同；
（ⅲ）對於中的排列，進行如下操作：將排列從左至右第乙個滿意指數為負數的項調至首項，其它各項順序不變，得到乙個新的排列．證明：新的排列的各項滿意指數之和比原排列的各項滿意指數之和至少增加．
北京市西城區2023年高三二模試卷
高三數學（文科）參***及評分標準
2013.5
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.
1． a； 2．a； 3．d； 4．b； 5．c； 6．c； 7．b； 8．b．
二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.
91011．，；
121314．，．
注：11、14題第一空2分，第二空3分.
三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評分標準給分.
15．（本小題滿分13分）
（ⅰ）解：設等比數列的公比為，依題意1分
因為兩式相除得3分
解得， 捨去4分
所以6分
所以數列的通項公式為7分
（ⅱ）解：由（ⅰ）得9分
因為， 所以數列是首項為，公差為的等差數列11分
所以13分
16．（本小題滿分13分）
（ⅰ）解：由三角函式定義，得2分
因為，，
所以3分
所以5分
（ⅱ）解：依題意得，．
所以7分
． ……………9分
依題意得，
整理得11分
因為， 所以，
所以， 即13分
17．（本小題滿分14分）
（ⅰ）解：由左檢視可得為的中點，
所以 △的面積為．………………1分
因為平面2分
所以四面體的體積為
3分4分
（ⅱ）證明：取中點，鏈結5分
由正（主）檢視可得為的中點，所以6分
又因為∥，， 所以∥，．
所以四邊形為平行四邊形，所以8分
因為平面，平面，
所以直線∥平面9分
（ⅲ）證明：因為平面，所以．
因為面為正方形，所以．
所以平面11分
因為平面，所以．
因為，為中點，所以．
所以平面12分
因為∥，所以平面13分
因為平面， 所以平面平面14分
18.（本小題滿分13分）
（ⅰ）解：的定義域為， 且2分
當時，，，
所以曲線在點處的切線方程為，
即4分（ⅱ）解：方程的判別式5分
令，得，或6分
和的情況如下：
故的單調增區間為，；單調減區間為．
………………9分
① 當時，，此時在區間上單調遞增，
所以在區間上的最小值是10分
② 當時，，此時在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，
所以在區間上的最小值是12分
③ 當時，，此時在區間上單調遞減，
所以在區間上的最小值是13分
綜上，當時，在區間上的最小值是；當時，在區間上的最小值是；當時，在區間上的最小值是．
19．（本小題滿分14分）
（ⅰ）解：依題意，是線段的中點，
因為，，
所以點的座標為． ………………2分
由點在橢圓上，
所以4分
解得6分
（ⅱ）解：設，則，且7分
因為是線段的中點，
所以8分
因為，所以9分
由 ①，② 消去，整理得11分
所以13分
當且僅當時，上式等號成立
所以的取值範圍是14分
北京市西城區2023年高三二模試卷數學 理科
數學 理科 2012.5 一 選擇題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.二 填空題共6小題，每小題5分，共30分.9 在 中，則 10 已知複數滿足，則 11 如圖，是 的內接三角形，是 的切線，交於點，交 於點 若，則 12 已知函式是上的偶函式，則實...
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高三文科綜合能力測試 2011 4 本試卷分第1卷 選擇題 和第 卷 非選擇題 兩部分，第1卷l至8頁，第 卷9至14頁，共300分。考試時間150分鐘。考生務必將答案答在答題書上，在試卷七作 答無效。考試結束後，將本試卷和答題卡一併交回。第1卷 選擇題共140分 本卷共35小題，每小題4分，共計1...