要點梳理
1． 直線的傾斜角與斜率
(1)直線的傾斜角
①定義：當直線l與x軸相交時，我們取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．當直線l與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角為0°.
②傾斜角的範圍為[0°，180°)．
(2)直線的斜率
①定義：一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tan_α，傾斜角是90°的直線斜率不存在．
②過兩點的直線的斜率公式
經過兩點p1(x1，y1)，p2(x2，y2) (x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝.
2． 直線方程的五種形式
3. 過p1(x1，y1)，p2(x2，y2)的直線方程
(1)若x1＝x2，且y1≠y2時，直線垂直於x軸，方程為x＝x1；
(2)若x1≠x2，且y1＝y2時，直線垂直於y軸，方程為y＝y1；
(3)若x1＝x2＝0，且y1≠y2時，直線即為y軸，方程為x＝0；
(4)若x1≠x2，且y1＝y2＝0時，直線即為x軸，方程為y＝0.
4． 線段的中點座標公式
若點p1、p2的座標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，且線段p1p2的中點m的座標為(x，y)，則，此公式為線段p1p2的中點座標公式．
5． 兩條直線平行與垂直的判定
(1)兩條直線平行
對於兩條不重合的直線l1、l2，其斜率分別為k1、k2，則有l1∥l2k1＝k2.特別地，當直線l1、l2的斜率都不存在時，l1與l2平行．
(2)兩條直線垂直
如果兩條直線l1，l2斜率存在，設為k1，k2，則l1⊥l2k1·k2＝－1，當一條直線斜率為零，另一條直線斜率不存在時，兩條直線垂直．
6． 兩直線相交
交點：直線l1：a1x＋b1y＋c1＝0和l2：a2x＋b2y＋c2＝0的公共點的座標與方程組的解一一對應．
相交方程組有唯一解，交點座標就是方程組的解；
平行方程組無解；
重合方程組有無數個解．
7． 三種距離公式
(1)點a(x1，y1)、b(x2，y2)間的距離：
|ab|＝.
(2)點p(x0，y0)到直線l：ax＋by＋c＝0的距離：
d＝.(3)兩平行直線l1：ax＋by＋c1＝0與l2：ax＋by＋c2＝0 (c1≠c2)間的距離為
d＝.題型分類
題型一直線的傾斜角與斜率
例1(1)若直線l與直線y＝1，x＝7分別交於點p，q，且線段pq的中點座標為(1，－1)，則直線l的斜率為
abcd.
(2)直線xcos α＋y＋2＝0的傾斜角的範圍是
a.∪ b.∪ cd.
思維啟迪：斜率公式和傾斜角的定義是解決這類問題的基礎，範圍可結合圖形考慮．
答案 (1)b (2)b
解析 (1)依題意，設點p(a,1)，q(7，b)，
則有，解得a＝－5，b＝－3，
從而可知直線l的斜率為＝－.
(2)由xcos α＋y＋2＝0得直線斜率k＝－cos α.
∵－1≤cos α≤1，∴－≤k≤.
設直線的傾斜角為θ，則－≤tan θ≤.
結合正切函式在∪上的圖象可知，
0≤θ≤或≤θ<π.
變式1：已知線段pq兩端點的座標分別為p(－1,1)和q(2,2)，若直線l：x＋my＋m＝0與線段pq有交點，求實數m的取值範圍．
解如圖所示，直線l：x＋my＋m＝0過定點a(0，－1)，
當m≠0時，kqa＝，kpa＝－2，
kl＝－.
∴－≤－2或－≥，
解得0當m＝0時，直線l的方程為x＝0，與線段pq有交點，
所以，實數m的取值範圍為－≤m≤.
題型二求直線的方程
例2 求適合下列條件的直線方程：
(1)經過點p(3,2)，且在兩座標軸上的截距相等；
(2)過點a(－1，－3)，斜率是直線y＝3x的斜率的－；
(3)過點a(1，－1)與已知直線l1：2x＋y－6＝0相交於b點且|ab|＝5.
思維啟迪：選擇適當的直線方程形式，把所需要的條件求出即可．
解 (1)方法一設直線l在x，y軸上的截距均為a，若a＝0，即l過點(0,0)和(3,2)，
∴l的方程為y＝x，即2x－3y＝0.
若a≠0，則設l的方程為＋＝1，
∵l過點(3,2)，∴＋＝1，
∴a＝5，∴l的方程為x＋y－5＝0，
綜上可知，直線l的方程為2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
方法二由題意，所求直線的斜率k存在且k≠0，
設直線方程為y－2＝k(x－3)，
令y＝0，得x＝3－，令x＝0，得y＝2－3k，
由已知3－＝2－3k，解得k＝－1或k＝，
∴直線l的方程為
y－2＝－(x－3)或y－2＝(x－3)，
即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.
(2)設所求直線的斜率為k，依題意
k＝－×3＝－.
又直線經過點a(－1，－3)，
因此所求直線方程為y＋3＝－(x＋1)，
即3x＋4y＋15＝0.
(3)過點a(1，－1)與y軸平行的直線為x＝1.
解方程組，
求得b點座標為(1,4)，此時|ab|＝5，
即x＝1為所求．
設過a(1，－1)且與y軸不平行的直線為
y＋1＝k(x－1)，
解方程組，
得兩直線交點為.
(k≠－2，否則與已知直線平行)．
則b點座標為.
由已知2＋2＝52，
解得k＝－，∴y＋1＝－(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.
綜上可知，所求直線的方程為x＝1或3x＋4y＋1＝0.
變式2：△abc的三個頂點為a(－3,0)，b(2,1)，c(－2，3)，求：
(1)bc所在直線的方程；
(2)bc邊上中線ad所在直線的方程；
(3)bc邊的垂直平分線de的方程．
解 (1)因為直線bc經過b(2,1)和c(－2,3)兩點，由兩點式得bc的方程為＝，即x＋2y－4＝0.
(2)設bc中點d的座標為(x，y)，
則x＝＝0，y＝＝2.
bc邊的中線ad過a(－3,0)，d(0,2)兩點，由截距式得ad所在直線方程為＋＝1，即2x－3y＋6＝0.
(3)bc的斜率k1＝－，則bc的垂直平分線de的斜率k2＝2，由點斜式得直線de的方程為y－2＝2(x－0)，
即2x－y＋2＝0.
題型三直線方程的綜合應用
例3 已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈r)．
(1)證明：直線l過定點；
(2)若直線不經過第四象限，求k的取值範圍；
(3)若直線l交x軸負半軸於a，交y軸正半軸於b，△aob的面積為s(o為座標原點)，求s的最小值並求此時直線l的方程．
思維啟迪：抓住直線過定點這個特徵，找直線不經過第四象限的條件，表示△aob的面積，然後求最值．
(1)證明直線l的方程是：k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令，解得，
∴無論k取何值，直線總經過定點(－2,1)．
(2)解由方程知，當k≠0時直線在x軸上的截距為－，在y軸上的截距為1＋2k，要使直線不經過第四象限，則必須有，
解之得k>0；
當k＝0時，直線為y＝1，符合題意，故k≥0.
(3)解由l的方程，得a，b(0,1＋2k)．
依題意得
解得k>0.
∵s＝·|oa|·|ob|＝··|1＋2k|
＝·＝≥×(2×2＋4)＝4，
「＝」成立的條件是k>0且4k＝，即k＝，
∴smin＝4，此時l的方程為：x－2y＋4＝0.
變式3：已知直線l過點p(3,2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交於a、b兩點，如圖所示，求△abo的面積的最小值及此時直線l的方程．
解方法一設直線方程為＋＝1 (a>0，b>0)，
點p(3,2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24，
從而s△aob＝ab≥12，當且僅當＝時等號成立，這時k＝－＝－，從而所求直線方程為2x＋3y－12＝0.
方法二依題意知，直線l的斜率k存在且k<0.
則直線l的方程為y－2＝k(x－3) (k<0)，
且有a，b(0,2－3k)，
∴s△abo＝(2－3k) ＝≥
＝×(12＋12)＝12.
當且僅當－9k＝時，即k＝－時，等號成立．
即△abo面積的最小值為12.
故所求直線的方程為2x＋3y－12＝0.
題型四兩條直線的平行與垂直
例4 已知直線l1：ax＋2y＋6＝0和直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)試判斷l1與l2是否平行；
直線與直線方程經典例題
練習 例 1 l1的傾斜角為45，l2經過點p 2,1 q 3,6 例 2 已知點m 2,2 和n 5，2 點p在x軸上，且 mpn為直角，求點p的座標。練習 1.求a為何值時，直線l1 a 2 x 1 a y 1 0與直線l2 a 1 x 2a 3 y 2 0互相垂直？答案 a 1 2.求過點p ...
曲線和方程》小結與練習 含答案
曲線和方程 一 基礎知識 1.曲線的方程與方程的曲線的定義 2.求簡單的曲線方程的一般步驟 1 建立適當的座標系，用有序實數對表示曲線上任意一點m的座標 2 寫出適合條件p的點m的集合 3 用座標表示條件p m 列出方程 4 化方程為最簡形式 5 證明以化簡後的方程的解為座標的點都是曲線上的點 二 ...
直線與方程教案
直線與方程知識點整理 1 直線的傾斜角 定義 x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時,我們規定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值範圍是0 180 2 直線的斜率 截距 定義 傾斜角不是90 的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示...