第23章一元二次方程 2
§23.1 一元二次方程 3
§23.2 一元二次方程的解法 4
閱讀材料 13
§23.3 實踐與探索 14
小結 16
複習題 17
綠苑小區規劃設計時，準備在每兩幢樓房之間，安排面積為900平方公尺的一塊長方形綠地，並且長比寬多10公尺，那麼綠地的長和寬各為多少？
設寬為x公尺，可列出方程
，整理得 ．
方程中未知數x的最高次數是2，它是乙個一元二次方程．
問題1綠苑小區規劃設計時，準備在每兩幢樓房之間，安排面積為900平方公尺的一塊長方形綠地，並且長比寬多10公尺，那麼綠地的長和寬各為多少？
分析我們已經知道可以運用方程解決實際問題．
設長方形綠地的寬為x公尺，不難列出方程
x（x＋10）＝900，
整理可得
1）問題2
學校圖書館去年年底有圖書5萬冊，預計到明年年底增加到7．2萬冊．求這兩年的年平均增長率．
分析設這兩年的年平均增長率為x．
已知去年年底的圖書數是5萬冊，則今年年底的圖書數是5（1＋x）萬冊；同樣，明年年底的圖書數又是今年年底的（1＋x）倍，即萬冊．可列得方程
，整理可得
2）思考
這樣，問題1和問題2分別歸結為解方程（1）和（2）．顯然，這兩個方程都不是一元一次方程．那麼這兩個方程與一元一次方程的區別在**？它們有什麼共同特點呢？
概括上述兩個整式方程中都只含有乙個未知數，並且未知數的最高次數都是2，這樣的方程叫做一元二次方程（quadric equation with one unknown）．通常可化成如下的一般形式：
（a、b、c是已知數，a≠0），
其中a、b、c分別叫做二次項係數、一次項係數和常數項．
練習將下列一元二次方程化為一般形式，並分別指出它們的二次項係數、一次項係數和常數項：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
習題23．1
1．關於x的方程是一元二次方程，m應滿足什麼條件？
2．已知關於x的一元二次方程有乙個解是0，求m的值．
3．根據題意，列出方程（不必求解）：
（1）學校中心大草坪上準備建兩個相等的圓形花壇，要使花壇的面積是餘下草坪面積的一半．已知草坪是長和寬分別為80公尺和60公尺的矩形，求花壇的半徑．
（2）根據科學分析，舞台上的節目主持人應站在舞台前沿的**分割點（即該點將舞台前沿這一線段分為兩條線段，使較**段與較長線段之比等於較長線段與全線段之比），視覺和音響效果最好．已知學校禮堂舞台前沿寬20公尺，問舉行文娛會演時主持人應站在何處？
試一試解下列方程，並說明你所用的方法，與同伴交流．
（1）；（2）．
概括對於方程（1），有這樣的解法：
方程 ，
意味著x是4的平方根，所以
，即x＝±2．
這種方法叫做直接開平方法．
對於方程（2），有這樣的解法：
將方程左邊用平方差公式分解因式，得
（x－1）（x＋1）＝0，
必有 x－1＝0或x＋1＝0，
分別解這兩個一元一次方程，得
．這種方法叫做因式分解法．
思考（1）方程能否用因式分解法來解？要用因式分解法解，首先應將它化成什麼形式？
（2）方程能否用直接開平方法來解？要用直接開平方法解，首先應將它化成什麼形式？
做一做試用兩種方法解方程
．例1 解下列方程：
（1）；（2）．
解 （1）移項，得
．直接開平方，得．即
（2）移項，得
．方程兩邊都除以16，得
直接開平方，得．即
例2 解下列方程：
（1）；（2）．
解 （1）方程左邊分解因式，得
x（3x＋2）＝0．
所以x＝0或3x＋2＝0．
得（2）移項，得
．方程左邊分解因式，得
x（x－3）＝0．
所以x＝0或x－3＝0，得練習
1．解下列方程：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
2．小明在解方程時，將方程兩邊同除以x，得到原方程的解x＝3，這種做法對嗎？為什麼？
例3 解下列方程：
（1）；
（2）．
分析兩個方程都可以轉化為
的形式，用直接開平方法求解．
解（1）原方程可以變形為
，直接開平方，得
x＋1＝±2．
所以 ．
（2）原方程可以變形為
有得 ．
讀一讀小張和小林一起解方程
x（3x＋2）－6（3x＋2）＝0．
小張將方程左邊分解因式，得
（3x＋2）（x－6）＝0，
所以3x＋2＝0或x－6＝0．
得小林的解法是這樣的：
移項，得 x（3x＋2）＝6（3x＋2），
方程兩邊都除以（3x＋2），得
x＝6．
小林說：「我的方法多簡便！」可另乙個根**去了？小林的解法對嗎？你能解開這個謎嗎？
練習解下列方程：
（1）；（2）；
（3）；（4）．
例4 解下列方程：
（1）；（2）．
思考能否經過適當變形，將它們轉化為
的形式，用直接開平方法求解？
解（1）原方程兩邊都加上1，得
，（2）原方程化為，
歸納上面，我們把方程變形為，它的左邊是乙個含有未知數的完全平方式，右邊是乙個非負常數，從而能直接開平方求解．這種解一元二次方程的方法叫做配方法．
例5用配方法解下列方程：
（1）；（2）．
解（1）移項，得
．方程左邊配方，得，即
所以x－3＝±4．
得（2） 移項，得
．方程左邊配方，得，即．
所以．得x．
練習1．填空：
（1）+6x+( )=(x+ )；
（2）-8x+( )=(x- )；
（3）+( )=(x+ )；
（4）4-6x+( )=4(x- ) =(2x- )．
2．用配方法解下列方程：
（1）＋8x－2＝0；（2）－5x－6＝0．
試一試用配方法解方程＋px＋q＝0（≥0）．
思考如何用配方法解下列方程？
（1）4－12x－1＝0；（2） 3＋2x－3＝0．
討論請你和同桌討論一下： 當二次項係數不為1時，如何應用配方法？
探索我們來解一般形式的一元二次方程
a＋bx＋c＝0（a≠0）．
因為a≠0，方程兩邊都除以a，得
．移項，得．
配方，得，
即．因為a≠0，所以4＞0，當－4ac≥0時，直接開平方，得
．所以，
即．由以上研究的結果，得到了一元二次方程a＋bx＋c＝0的求根公式：
．利用這個公式，我們可以由一元二次方程中係數a、b、c的值，直接求得方程的根．這種解方程的方法叫做公式法．
例6 解下列方程：
（1）2＋x－6＝0；（2）＋4x＝2；
（3）5－4x－12＝0；（4）4＋4x＋10＝1－8x．
解（1）這裡a＝2，b＝1，c＝－6，
－4ac＝－4×2×（－6）＝1＋48＝49，
所以，即．
（2）將方程化為一般式，得
＋4x－2＝0．
因為－4ac＝24，
所以．即．
（3） 因為－4ac＝256，
所以．得．
（4） 整理，得
4＋12x＋9＝0．
因為－4ac＝0，
所以，即．
練習用公式法解下列方程：
（1）－6x＋1＝0；（2）2－x＝6；
（3）4－3x－1＝x－2；（4）3x（x－3）＝2（x－1）（x＋1）．
思考根據你學習的體會小結一下： 解一元二次方程有哪幾種方法？通常你是如何選擇的？和同學交流一下．
應用現在我們來解決§23．1的問題1：
x（x＋10）＝900，
＋10x－900＝0，，．
它們都是所列方程的根，但負數根x1不符合題意，應捨去．取
x＝≈25．4，
x＋10≈35．4，
符合題意，因此綠地的寬約為25．4公尺，長約為35．4公尺．
例7 學校生物小組有一塊長32m，寬20m的矩形試驗田，為了管理方便，準備沿平行於兩邊的方向縱、橫各開闢一條等寬的小道．要使種植面積為540，小道的寬應是多少？
分析問題中沒有明確小道在試驗田中的位置，試作出圖23.2.1，不難發現小道的占地面積與位置無關．設道路寬為xm，則兩條小道的面積分別為32x和20x，其中重疊部分小正方形的面積為，根據題意，得
32×20－32x－20x＋＝540．
試一試如果設想把道路平移到兩邊，如圖23．2．2所示，小道所佔面積是否保持不變？在這樣的設想下，列方程是否符合題目要求？是否方便些？
在應用一元二次方程解實際問題時，也像以前學習一元一次方程一樣，要注意分析題意，抓住主要的數量關係，列出方程，把實際問題轉化為數學問題來解決．求得方程的根之後，要注意檢驗是否符合題意，然後得到原問題的解答．
練習1．學生會準備舉辦一次攝影展覽，在每張長和寬分別為18厘公尺和12厘公尺的長方形相片周圍鑲上一圈等寬的彩紙．經試驗，彩紙面積為相片面積的時較美觀，求鑲上彩紙條的寬．（精確到0．1厘公尺）
2．豎直上拋物體的高度h和時間t符合關係式．爆竹點燃後以初速度＝20公尺/秒上公升，經過多少時間爆竹離地15公尺？（重力加速度g≈10公尺/秒）
例8 某藥品經過兩次降價，每瓶零售價由56元降為31．5元．已知兩次降價的百分率相同，求每次降價的百分率．
分析若一次降價百分率為x，則一次降價後零售價為原來的（1－x）倍，即56（1－x）元；第二次降價百分率仍為x，則第二次降價後的零售價為56（1－x）的（1－x）倍．
解設平均降價百分率為x，根據題意，得
56（1－x）＝31．5．
解這個方程，得
．因為降價的百分率不可能大於1，所以不符合題意，符合本題要求的是x＝0．25＝25%．
答： 每次降價百分率為25%．
練習1．某工廠1月份的產值是50000元，3月份的產值達到60000元，這兩個月的產值平均月增長的百分率是多少？（精確到0．1%）
2．據某中學對畢業班同學三年來參加市級以上各項活動獲獎情況的統計，初一階段有48人次獲獎，之後逐年增加，到初三畢業時共有183人次獲獎．求這兩年中獲獎人次的平均年增長率．
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