第8章第7講
一、選擇題
1．(2007·重慶)在△abc中，ab＝，a＝45°，c＝75°，則bc等於( )
a．3b.
c．2 d．3＋
[解析] 由＝得bc＝3－.
[答案] a
2．在△abc中，a2＝b2＋c2＋bc，則a等於( )
a．60b．45
c．120d．30°
[解析] cosa＝＝＝－.
∵0°＜a＜180°，∴a＝120°，故選c.
[答案] c
3．△abc的內角a、b、c的對邊分別為a、b、c.若a、b、c成等比數列，且c＝2a，則cosb＝( )
abcd.
[解析] △abc中，a、b、c成等比數列，∴b2＝ac，
又c＝2a，∴b＝a，∴cosb＝＝＝.
[答案] b
4．(2008·福建理，10)在△abc中，角a、b、c的對邊分別為a、b、c，若(a2＋c2－b2)tanb＝ac，則角b的值為( )
a. b.
c.或 d.或
[解析] ∵(a2＋c2－b2)tanb＝ac，
∴·tanb＝，
即cosb·tanb＝sinb＝.
∵0＜b＜π，∴角b的值為或.
[答案] d
5．(2009·福建)已知銳角△abc的面積為3，bc＝4，ca＝3，則角c的大小為( )
a．75b．60
c．45d．30°
[解析] 由s△abc＝bc·ca·sin∠acb＝3，得sin∠acb＝，而△abc為銳角三角形，所以∠acb＝60°，故選b.
[答案] b
6．(2009·廣東)已知△abc中，∠a、∠b、∠c的對邊分別為a、b、c，若a＝c＝＋且∠a＝75°，則b＝( )
a．2 b．4＋2
c．4－2 d.－
[解析] △abc中，易知∠b＝30°，由餘弦定理知b2＝a2＋c2－2ac·cos30°，∴b2＝2(＋)2－2(＋)2×＝(2－)(＋)2＝4(2＋)(2－)＝4，∴b＝2，故選a.
[答案] a
二、填空題
7．已知△abc中，b＝3，c＝3，b＝30°，則a
[解析] sinc＝＝
∵c>b ∴c>b∴c＝60°或c＝120°.
∴當c＝60°時，a＝90°，∴a＝＝＝6
當c＝120°時，a＝30° ∴a＝b＝3
故填a＝3或6.
[答案] 3或6
8．(2010·北京，10)在△abc中，若b＝1，c＝，∠c＝，則a
[解析] ∵c2＝a2＋b2－2ab·cosc，
∴()2＝a2＋12－2a·1·cosπ，
∴a2＋a－2＝0，∴(a＋2)(a－1)＝0，∴a＝1.
[答案] 1
9．在△abc中，∠a、∠b、∠c的對邊分別為a、b、c，若2b＝a＋c, 則∠b的範圍是________．
[解析] cosb＝＝
＝≥＝.又∵0[答案] 0＜b≤
10．(2009·湖南)在銳角△abc中，bc＝1，b＝2a，則的值等於________，ac的取值範圍為________．
[解析] 由正弦定理得＝，即＝，∴＝2.
∵△abc是銳角三角形，∴0＜a＜，0＜2a＜，0＜π－3a＜，解得＜a＜，
由ac＝2cosa得ac的取值範圍為(，)．
[答案] 2；(，)
三、解答題
11．(2009·廣州一模)已知△abc的內角a，b，c所對的邊分別為a，b，c且a＝2，cosb＝.
(1)若b＝4，求sina的值；
(2)若△abc的面積s△abc＝4，求b，c的值．
[解] (1)∵cosb＝＞0，且0＜b＜π
∴sinb＝＝
由正弦定理＝得sina＝＝＝.
(2)∵s△abc＝4，即acsinb＝4
∴×2×c×＝4，∴c＝5
由餘弦定理b2＝a2＋c2－2accosb
∴b＝ ＝.
12．(2009·浙江)在△abc中，角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，且滿足cos＝，·＝3.
(1)求△abc的面積；
(2)若b＋c＝6，求a的值．
[解析] (1)因為cos＝，∴cosa＝2cos2－1＝，sina＝，
又由·＝3，得bccosa＝3，∴bc＝5，∴s△abc＝bcsina＝2.
(2)對於bc＝5，又b＋c＝6，∴b＝5，c＝1或b＝1，c＝5，
由餘弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosa＝20，∴a＝2.
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