第三章測驗題答案(2010-05-11)
班級______ 姓名______ 學號______ 做題時間____分鐘
一. 填空(共17分)
1. （5分）設隨機變數且，則=.
解：因為，屬離散型隨機變數，故.
由題設條件可知，所以
又因為所以=.
2. （12分，每空2分）根據定義完成下列各式：
二. 選擇(共20分，每題5分)
1. 設隨機變數x的絕對值不大於1，且，則
[ a ]
(a) 0.625 (b) 0.5 (c) 0.425 (d)0.375
解：因為隨機變數x的絕對值不大於1，所以必定有x的所有取值只可能在-1到1之間，即，所以
2. 設x與y相互獨立且同分布，，，在下列各式中成立的是 [ a ]
(ab)
(cd)
解：因為所以x和y的取值只能是1或-1，因此利用x與y的邊緣分布律和兩者獨立性的條件可知(x, y)的聯合分布律，如下表所示：
因此故選項(a)正確，(b)錯誤；
故選項(c)錯誤；
故選項(d)錯誤.
3. 已知，且，則[ c ].
(a) (b) (c) (d)
解：本題關鍵是分析max函式的含義，從而利用概率的加法公式來解. 具體過程如下：
4. 設隨機變數，則隨著的增大， [ ].
(a)增大 (b)減小 (c)保持不變 (d)增減不定
解：，與無關，所以選(c).
三. 解答題（請寫明求解過程，共63分）
1. （18分，每小題6分）已知隨機變數x的分布函式為
求(1) a; (2); (3).
解：(1)利用分布函式的右連續性可知，在點，右連續性表現為
，根據定義可知，當時，，所以
左邊==，右邊，故a=1.
所以得到
(2) 注意到這個在整個實軸都是連續的，根據第二章的結論：只要分布函式是連續函式，那麼隨機變數在單點處的概率就為0，因此有
(3)已知分布函式求概率密度，只需要在密度函式的連續點處對x求導即可：
因此有（此題沒有無定義的點，否則需要修改相應區間，例如第二章測驗解答題第一題.）
2. （15分）某元件壽命x服從引數為的指數分布，則三個這樣的元件使用1000小時後，都沒有損壞的概率是多少？
解：隨機變數x表示元件壽命，由題意可知其概率密度為
又因為即元件能夠使用超過1000小時的概率是，又因為三個元件的壽命是相互獨立的，所以最後所求概率值即為.
3. （10分）已知二維隨機向量(x, y)的聯合密度函式為
求(x, y)的關於y的邊緣密度函式.解：
通過以下四個步驟求邊緣密度：
①寫定義：
②定區間
③化積分：
④求積分： .
4. （10分）設求的概率密度函式.
解：因為所以有
因為函式是嚴格單調函式，所以可以利用書中第52頁定理直接求y的密度函式.
，且所以. 又注意到，
所以由定理可知
（10分）已知(x, y)的概率密度為
求.解：本題所求的是二維隨機變數(x, y)落在某區域中的概率，則
現要將此二重積分化成累次積分，則要確定這個區域與的區域的交集，如下圖所示
故四. 選做題(10分,100分以外)
設(x, y)的分布函式為,
求(1) a,b,c; (2); (3)x和y是否相互獨立？
解：(1)法一：利用二維隨機變數的分布函式的性質：
得到.由(3)式可知，. 又因為, 所以
故則又（１）（２）式可知．
因此．法二：利用一維隨機變數的分布函式的性質來做：
因為邊緣分布
作為一維隨機變數的分布函式是滿足上述性質的，故
解此方程組得到.
(2)(3)要判斷獨立性，就要先求邊緣分布；
法一：因為此題給出的條件是分布函式，所以這裡我們先求x和y的邊緣分布函式. 根據分布函式的定義，我們有
所以對任意的x, y , 有成立，故x與y獨立.
法二：利用第(2)題聯合密度求邊緣密度後，判斷是否獨立.
， 故x與y獨立.
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