專題提公升(十五) 巧用旋轉進行證明與計算
【經典母題】
已知等邊三角形abc(如圖z15－1)．
(1)以點a為旋轉中心，將△abc按逆時針方向旋轉30°，作出旋轉後的圖形；
(2)經第(1)題旋轉所得的圖形與△abc之間有沒有互相垂直的邊？證明你的判斷．
圖z15－1 經典母題答圖
解：(1)如答圖所示；
(2)ad⊥bc，de⊥ac，ab⊥ae.證明略．
【思想方法】 旋轉前、後的圖形全等，所以藉此可以在較複雜的圖形中發現等量(或全等)關係，或通過旋轉(割補)圖形，把分散的已知量聚合起來，便於打通解題思路，找到解題突破口．
【中考變形】
1．如圖z15－2，已知△abc和△dce均是等邊三角形，點b，c，e在同一條直線上，ae與bd交於點o，ae與cd交於點g，ac與bd交於點f，鏈結oc，fg，則下列結論：①ae＝bd；②ag＝bf；③fg∥be；④∠boc＝∠eoc，其中正確結論的個數是d )
圖z15－2
a．1個 b．2個
c．3個 d．4個
2．如圖z15－3，p是等腰直角三角形abc外一點，把bp繞點b順時針旋轉90°到bp′，已知∠ap′b＝135°，p′a∶p′c＝1∶3，則p′a∶pb＝( b )
a．1∶ b．1∶2
c.∶2 d．1∶
圖z15－3 中考變形2答圖
【解析】 如答圖，鏈結ap，pp′，∵bp繞點b順時針旋轉90°到bp′，
∴bp＝bp′，∠abp＋∠abp′＝90°.∵△abc是等腰直角三角形，∴ab＝bc，∠cbp′＋∠abp′＝90°，∴∠abp＝∠cbp′.在△abp和△cbp′中，
∴△abp≌△cbp′(sas)，∴ap＝p′c.∵p′a∶p′c＝1∶3，∴ap＝3p′a.
∵△pbp′是等腰直角三角形，∴∠bp′p＝45°，pp′＝pb.∵∠ap′b＝135°，∴∠ap′p＝135°－45°＝90°，∴△app′是直角三角形．設p′a＝x，則ap＝3x，根據勾股定理，得pp′＝＝＝2x，∴p′b＝pb＝2x，∴p′a∶pb＝x∶2x＝1∶2.
3．[2017·徐州]如圖z15－4，已知ac⊥bc，垂足為c，ac＝4，bc＝3，將線段ac繞點a按逆時針方向旋轉60°，得到線段ad，鏈結dc，db.
(1)線段dc＝__4__；
(2)求線段db的長度．
圖z15－4 中考變形3答圖
解：(1)∵ac＝ad，∠cad＝60°，
∴△acd是等邊三角形，∴dc＝ac＝4；
(2)如答圖，作de⊥bc於點e.
∵△acd是等邊三角形，
∴∠acd＝60°，又∵ac⊥bc，
∴∠dce＝∠acb－∠acd＝90°－60°＝30°，
在rt△cde中，de＝dc＝2，ce＝dc·cos30°＝4×＝2，
∴be＝bc－ce＝3－2＝.
在rt△bde中，bd＝＝＝.
4．如圖z15－5①，在△abc中，ae⊥bc於點e，ae＝be，d是ae上的一點，且de＝ce，鏈結bd，cd.
(1)判斷bd與ac的位置關係和數量關係，並給出證明；
(2)如圖②，若將△dce繞點e旋轉一定的角度後，bd與ac的位置關係和數量關係是否發生變化？為什麼？
(3)如圖③，將(2)中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變，求bd與ac夾角的度數．
圖z15－5
解：(1)bd與ac的位置關係是bd⊥ac，數量關係是bd＝ac.證明：
如答圖①，延長bd交ac於點f.
∵ae⊥bc於點e，
∴∠bed＝∠aec＝90°.
∵ae＝be，de＝ce，
∴△dbe≌△cae(sas)，
∴bd＝ac，∠dbe＝∠cae，∠bde＝∠ace.
∵∠bde＝∠adf，∴∠adf＝∠ace.
∵∠ace＋∠cae＝90°，∴∠adf＋∠cae＝90°，∴bd⊥ac；
(2)否．證明：如答圖②，ac與bd交於點f，
∵∠aeb＝∠dec＝90°，
∴∠aeb＋∠aed＝∠dec＋∠aed，
即∠bed＝∠aec.
∵ae＝be，de＝ce，
∴△bed≌△aec(sas)，
∴bd＝ac，∠bde＝∠ace，∠dbe＝∠cae.
∵∠bfc＝∠acd＋∠cde＋∠bde＝∠acd＋∠cde＋∠ace＝90°，∴bd⊥ac；
(3)如答圖③，ac與bd交於點f.
∵△abe和△dec是等邊三角形，
∴ae＝be，de＝ec，∠edc＝∠dce＝60°，
∠bea＝∠dec＝60°，
∴∠bea＋∠aed＝∠dec＋∠aed，
∴∠bed＝∠aec，
在△bed和△aec中，
∴△bed≌△aec(sas)，∴∠bde＝∠ace，
∴∠dfc＝180°－(∠bde＋∠edc＋∠dcf)＝60°，
∴bd與ac的夾角度數為60°或120°.
5．閱讀下面的材料：
小偉遇到這樣乙個問題：如圖z15－6①，在正三角形abc內有一點p，且pa＝3，pb＝4，pc＝5，求∠apb的度數．小偉是這樣思考的：如圖②，利用旋轉和全等的知識構造△ap′c，鏈結pp′，得到兩個特殊的三角形，從而將問題解決．
(1)請你回答：圖①中∠apb＝__150°__；
參考小偉同學思考問題的方法，解決下列問題：
(2)如圖③，在正方形abcd內有一點p，且pa＝2，pb＝1，pd＝，求∠apb的度數和正方形的邊長．
圖z15－6
解：(1)如答圖①，把△apb繞點a逆時針旋轉60°得△ap′c，
由旋轉的性質，得p′a＝pa＝3，p′c＝pb＝4，∠pap′＝60°，
∴△app′是等邊三角形，
∴pp′＝pa＝3，∠ap′p＝60°，
∵pp′2＋p′c2＝32＋42＝25，pc2＝52＝25，
∴pp′2＋p′c2＝pc2，∴∠pp′c＝90°，
∴∠ap′c＝∠ap′p＋∠pp′c＝60°＋90°
＝150°，
∴∠apb＝∠ap′c＝150°；
(2)如答圖②，把△apb繞點a逆時針旋轉90°得到△ap′d，
由旋轉的性質，得p′a＝pa＝2，p′d＝pb＝1，
∠pap′＝90°，
∴△app′是等腰直角三角形，
∴pp′＝pa＝×2＝4，
∠ap′p＝45°，
∵pp′2＋p′d2＝42＋12＝17，pd2＝()2＝17，
∴pp′2＋p′d2＝pd2，∴∠pp′d＝90°，
∴∠ap′d＝∠ap′p＋∠pp′d＝45°＋90°＝135°，
∴∠apb＝∠ap′d＝135°.
∵∠apb＋∠app′＝135°＋45°＝180°，
∴p′，p，b三點共線．
過點a作ae⊥pp′於點e，則ae＝pe＝pp′＝2，
∴be＝pe＋pb＝2＋1＝3，
在rt△abe中，ab＝＝＝.
【中考**】
(1)如圖z15－7①，在正方形abcd中，△aef的頂點e，f分別在bc，cd邊上，高線ag與正方形的邊長相等，求∠eaf的度數；
(2)如圖②，在rt△abd中，∠bad＝90°，ab＝ad，m，n是bd邊上的任意兩點，且∠man＝45°，將△abm繞點a逆時針旋轉90°至△adh位置，鏈結nh，試判斷mn2，nd2，dh2之間的數量關係，並說明理由；
(3)在圖①中，若eg＝4，gf＝6，求正方形abcd的邊長．
圖z15－7
解：(1)在正方形abcd中，∠b＝∠d＝90°，
∵ag⊥ef，∴△abe和△age是直角三角形．
在rt△abe和rt△age中，
∴△abe≌△age(hl)，∴∠bae＝∠gae.
同理，∠gaf＝∠daf.
∴∠eaf＝∠eag＋∠fag＝∠bad＝45°；
(2)mn2＝nd2＋dh2.
由旋轉可知，∠bam＝∠dah，
∵∠bam＋∠dan＝45°，
∴∠han＝∠dah＋∠dan＝45°.
∴∠han＝∠man.
在△amn與△ahn中，
∴△amn≌△ahn(sas)，∴mn＝hn.
∵∠bad＝90°，ab＝ad，∴∠b＝∠adb＝45°，
∴∠hdn＝∠hda＋∠adb＝90°，
∴nh2＝nd2＋dh2，∴mn2＝nd2＋dh2；
(3)由(1)知，be＝eg＝4，df＝fg＝6.
設正方形abcd的邊長為x，則ce＝x－4，cf＝x－6.
∵ce2＋cf2＝ef2，∴(x－4)2＋(x－6)2＝102，
解得x1＝12，x2＝－2(不合題意，捨去)．
∴正方形abcd的邊長為12.
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