[考綱傳真] 通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法．
1．基本不等式
定理1：設a，b∈r，則a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立．
定理2：如果a，b為正數，則≥，當且僅當a＝b時，等號成立．
定理3：如果a，b，c為正數，則≥，當且僅當a＝b＝c時，等號成立．
定理4：(一般形式的算術—幾何平均不等式)如果a1，a2，…，an為n個正數，則≥，當且僅當a1＝a2＝…＝an時，等號成立．
2．柯西不等式
(1)柯西不等式的代數形式：設a，b，c，d都是實數，則(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(當且僅當ad＝bc時，等號成立)．
(2)柯西不等式的向量形式：設α，β是兩個向量，則當且僅當α或β是零向量，或存在實數k，使α＝kβ(α，β為非零向量)時，等號成立．
(3)柯西不等式的三角不等式：設x1，y1，x2，y2，x3，y3∈r，
則＋≥.
(4)柯西不等式的一般形式：設a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實數，則(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當且僅當bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在乙個數k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)時，等號成立．
3．不等式的證明方法
證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法等．
(1)比較法：
①比差法的依據是：a－b>0a>b，步驟是：「作差→變形→判斷差的符號」．變形是手段，變形的目的是判斷差的符號．
②比商法：若b>0，欲證a≥b，只需證≥1.
(2)綜合法與分析法：
①綜合法：利用某些已經證明過的不等式和不等式的性質，推導出所要證明的不等式，這種方法叫綜合法．即「由因導果」的方法．
②分析法：從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的充分條件，把證明不等式轉化為判定這些充分條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些充分條件都已經具備，那麼就可以判定原不等式成立，這種方法叫作分析法．即「執果索因」的方法．
[基礎自測]
1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打「√」，錯誤的打「×」)
(1)比較法最終要判斷式子的符號得出結論． ( )
(2)綜合法是從原因推導到結果的思維方法，它是從已知條件出發，經過逐步推理，最後達到待證的結論
(3)分析法又叫逆推證法或執果索因法，是從待證結論出發，一步一步地尋求結論成立的必要條件，最後達到題設的已知條件或已被證明的事實．( )
(4)使用反證法時，「反設」不能作為推理的條件應用． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．(教材改編)不等式：①x2＋3＞3x；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③＋≥2，其中恆成立的是( )
ab．②③
cd．①②
d [由①得x2＋3－3x＝＋＞0，所以x2＋3＞3x；對於②，因為a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以不等式成立；對於③，因為當ab＜0時，＋－2＝＜0，即＋＜2，故選d.]
3．若a＝－，b＝－，c＝－，則a，b，c的大小關係為( )
a．a>b>cb．a>c>b
c．b>c>a d．c>a>b
a [「分子」有理化得a＝，b＝，c＝，∴a>b>c.]
4．已知a＞0，b＞0且ln(a＋b)＝0，則＋的最小值是________．
4 [由題意得，a＋b＝1，a＞0，b＞0，
∴＋＝(a＋b)＝2＋＋
≥2＋2＝4，
當且僅當a＝b＝時等號成立．]
【例1】 設a，b，c，d均為正數，且a＋b＝c＋d.證明：
(1)若ab＞cd，則＋＞＋；
(2)＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要條件．
[證明] (1)因為(＋)2＝a＋b＋2，
(＋)2＝c＋d＋2，
由題設a＋b＝c＋d，ab＞cd，
得(＋)2＞(＋)2.
因此＋＞＋.
(2)①必要性：若|a－b|＜|c－d|，則(a－b)2＜(c－d)2，
即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.
因為a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.
由(1)，得＋＞＋.
②充分性：若＋＞＋，則(＋)2＞(＋)2，
即a＋b＋2＞c＋d＋2.
因為a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.
於是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.
因為|a－b|＜|c－d|.
綜上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要條件．
[規律方法] 分析法與綜合法常常結合起來使用，稱為分析綜合法，其實質是既充分利用已知條件，又時刻瞄準解題目標，即不僅要搞清已知什麼，還要明確幹什麼，通常用分析法找到解題思路，用綜合法書寫證題過程.
設x≥1，y≥1，求證：x＋y＋≤＋＋xy.
[證明] 由於x≥1，y≥1，
要證x＋y＋≤＋＋xy，
只需證xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.
因為[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)，
因為x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，
從而所要證明的不等式成立．
【例2】 若a，b∈r，求證：≤＋.
[證明] 當|a＋b|＝0時，不等式顯然成立．
當|a＋b|≠0時，
由0＜|a＋b|≤|a|＋|b|≥，
所以＝≤＝
＝＋≤＋.
[規律方法] 1.在不等式的證明中，「放」和「縮」是常用的推證技巧.常見的放縮變換有：
(1)變換分式的分子和分母，如.上面不等式中k∈n*，k＞1；
(2)利用函式的單調性；
(3)真分數性質「若0＜a＜b，m＞0，則.
2.在用放縮法證明不等式時，「放」和「縮」均需把握乙個度.
設n是正整數，求證：≤＋＋…＋＜1.
[證明] 由2n≥n＋k＞n(k＝1,2，…，n)，得
≤＜.當k＝1時，≤＜；
當k＝2時，≤＜；
…當k＝n時，≤＜，
∴＝≤＋＋…＋＜＝1.
∴原不等式成立．
【例3】 (2017·江蘇高考)已知a，b，c，d為實數，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，證明：ac＋bd≤8.
[證明] 由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．
因為a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，
所以(ac＋bd)2≤64，
因此ac＋bd≤8.
[規律方法] 1.使用柯西不等式證明的關鍵是恰當變形，化為符合它的結構形式，當乙個式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時，就可使用柯西不等式進行證明.
2.利用柯西不等式求最值的一般結構為：
≥(1＋1＋…＋1)2＝n2.在使用柯西不等式時，要注意右邊為常數且應注意等號成立的條件.
已知大於1的正數x，y，z滿足x＋y＋z＝3.求證：＋＋≥.
[證明] 由柯西不等式及題意得，＋＋·[(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)]≥(x＋y＋z)2＝27.
又(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)＝6(x＋y＋z)＝18，
∴＋＋≥＝，
當且僅當x＝y＝z＝時，等號成立.
1．(2017·全國卷ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.證明：
(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2.
[證明] (1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6
＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
(2)因為(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)
≤2＋(a＋b)＝2＋，
所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.
2．(2016·全國卷ⅱ)已知函式f(x)＝＋，m為不等式f(x)＜2的解集．
(1)求m；
(2)證明：當a，b∈m時，|a＋b|＜|1＋ab|.
數學選修4 5學案2 1 2不等式的證明 2
2.1.2不等式的證明 2 綜合法與分析法學案姓名 學習目標 1.理解並掌握綜合法與分析法 2.會利用綜合法和分析法證明不等式 知識情景 1.基本不等式 10.如果,那麼.當且僅當時,等號成立.20.如果,那麼.當且僅當時,等號成立.30.如果,那麼,當且僅當時,等號成立.2.均值不等式 如果,那麼...
選修4 5不等式選講第二節證明不等式的基本方法
1 比較法 1 作差比較法 理論依據 a ba b 0 a ba b 0.證明步驟 作差 變形 判斷符號 得出結論 2 作商比較法 理論依據 b 0，1a b b 0，1a b.證明步驟 作商 變形 判斷與1的大小關係 得出結論 2 綜合法 1 定義 從已知條件出發，利用定義 公理 定理 性質等，經...
選修4 5不等式證明的基本方法
選修4 5 不等式選講第2課時不等式證明的基本方法 對應學生用書 理 200 202頁 1.設a b r 試比較與的大小 解 2 0，2.若a b c r 且a b c 1，求 的最大值 解 1 1 1 2 12 12 12 a b c 3，即 的最大值為.3.設a b m r 且 求證 a b.證...