教學目的:
(1)掌握利用三角形條件進行角的三角函式恒等式證明的主要方法,使學生熟悉三角變換的一些常用方法和技巧(如定向變形,和積互換等)。
(2)通過自主的發現探索,培養學生發散、創造的思維習慣和思維能力,體驗數形結合、特殊一般轉化的數學思想。並利用此題材做學法指導。
(3)通過個人自學、小組討論、互相啟發、合作學習,培養學生自主與協作相結合的學習能力和敢於創新,不斷探索的科學精神。
教學設計:
一.引題:(a,b環節)
1.1複習提問:在三角形條件下,你能說出哪些有關角的三角恒等式?
擬答:,……, ,
……這些結果是誘導公式,的特殊情況。
1.2今天開始的學習任務是解決這類問題:在三角形條件下,有關角的三角恒等式的證明。學習策略是先分若干個學習小組(四人一組),分頭在課本p233---p238,p261-266的例題和習題中,找出有三角形條件的所有三角恒等式。
1.3備考:期待找出有關△abc內角a、b、c的三角恒等式有:
(1)p233:例題10:sina+sinb+sinc=4cosa/2cosb/2cosc/2
(2)p238:習題十七第6題:sina+sinb-sinc=4sina/2sinb/2cosc/2.
(3) cosa+cosb+cosc=1+4sina/2sinb/2sinc/2.
(4) sin2a+sin2b+sin2c=4sinasinbsinc.
(5)cos2a+cos2b+cos2c=-1-4cosacosbcosc.
(6)p264:復參題三第22題:tga+tgb+tgc = tgatgbtgc.
(7)也許有學生會找出:p264--(23)但無妨。
1.4請各組學生分工合作完成以上恒等式的證明:
提示:建議先自學例題10,注意題目之間的聯絡,以減少證明的重複勞動。
二.第一層次的問題解決(c,d環節)
2.1讓乙個組上黑板,請學生自主地挑出有「代表性」的3題(不超過3題)書寫證明過程。然後請其他某乙個組評判或給出不同的證法。
證法備考:(1)左到右:化積---->提取----->化積。
(2)左到右:化積---->提取----->化積sin(a+b)/2=cosc/2
(3)左到右:化積--->--->留「1」提取-->化積
(4)左到右:化積--->提取---->化積sin2c=sin2(a+b)
(5)左到右:
(6)左到右:tga+tgb=tg(a+b)(1-tgatgb)
(7)左到右:通分後利用(4)的結果
2.2教師注意記錄學生的「選擇」,問:為什麼認為你們的選擇有代表性?
體現學法的「暗導」。選擇的出發點可以多種多樣,如從品種、不同的證法、邏輯源頭等考慮。
2.3另一組學生判定結果或給出其他解法,(解法可能多樣。)也可對前一組學生所選擇書寫的「例題」的「代表性」進行評價。教師記錄之。注意學生的書寫中的問題(不當的跳步等……)。
2.4其他證法備考:
1.如右到左用積化和差,(略)
2.利用已做的習題:
先一般後特殊……
3.幾何直觀:
左式右式由此得證(4)
圖 14.用/2-a/2,/2-b/2,/2-c/2代換a,b,c(仍保持三個角之和為)可速由(4)推出(1);由(5)推出(2)……
三.探索發現練習(回朔與e環節)
3.1請學生以小組為單位通過觀察、聯想、對比、猜想、發現解決以下幾項任務
(1)找出更多的三角恒等式。
(2)用發散的方式尋求更多的結果。
可以自主肯定的結論記為「定理」,還不能肯定的結論暫記為「猜想」
3.2小組活動10分鐘後,組代表上前表述「發現」,交流結果。
3.3教師注意記錄學生的發現結果,挖掘「再發現」的潛力。
3.4結果的「予儲」
(1)結果一般化:如
對cos, tg亦有類似結果……
(2)變維發散三角形變四邊形,如對四邊形abcd有
, sina+sinb+sinc+sind=4sin(a+b)/2*[cos(a-b)/2+cos(c-d)/2]
=4sin(a+b)/2*cos(a+c-b-d)/4*cos(a+d-b-c)/4
=sin(a+b)/2*sin(b+c)/2*sin(c+a)/2
兩邊換成cos亦正確
進一步可探索四邊形abcd是平行四邊形或是圓內接四邊形時的相應結論。
(3)逆序發散:
如對(6),原等式成立,能推出a+b+c=嗎?
三角形內有關角的三角函式恒等式的證明
張思明課型和教學模式 習題課,導學探索,自主解決 模式 教學目的 1 掌握利用三角形條件進行角的三角函式恒等式證明的主要方法,使學生熟悉三角變換的一些常用方法和技巧 如定向變形,和積互換等 2 通過自主的發現探索,培養學生發散 創造的思維習慣和思維能力,體驗數形結合 特殊一般轉化的數學思想。並利用此...
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