內容要點：
一、一階線性微分方程
形如3.1)
的方程稱為一階線性微分方程. 其中函式、是某一區間上的連續函式. 當方程(3.1)成為
3.2)
這個方程稱為一階齊次線性方程. 相應地，方程(3.1)稱為一階非齊次線性方程.
方程(3.2)的通解
3.3)
其中為任意常數.
求解一階非齊次線性微分方程的常數變易法：即在求出對應齊次方程的通解(3.3)後，將通解中的常數變易為待定函式，並設一階非齊次方程通解為
一階非齊次線性方程(3.1)的通解為
3.5)
二、 伯努利方程：形如
3.7)
的方程稱為伯努利方程，其中為常數，且.
伯努利方程是一類非線性方程，但是通過適當的變換，就可以把它化為線性的. 事實上，在方程(3.7)兩端除以，得
或於是，令，就得到關於變數的一階線性方程
.利用線性方程的求解方法求出通解後，再回代原變數，便可得到伯努利方程(3.7)的通解
例題選講：
一階線性微分方程
例1（講義例1）求方程的通解.
例2（講義例2）求方程的通解.
例3 求下列微分方程滿足所給初始條件的特解.
例4 求解方程是的已知函式.
例5（講義例3）求方程的通解.
例6 如圖所示, 平行於軸的動直線被曲線與截下的線段之長數值上等於陰影部分的面積, 求曲線
例7 求的通解.
伯努利方程
例8（講義例4）求方程的通解.
例9（講義例5） 求方程的通解.
例10（講義例6）求解微分方程
課堂練習
1. 求微分方程的通解.
2. 設函式可微且滿足關係式
求.雅各布.伯努利（jacob bermoulli，1654~1705)
伯努利瑞士數學、力學、天文學家。2023年12月27日生於瑞士巴塞爾；2023年8月16日卒於巴塞爾。
雅各布.伯努利出生於一商人世家。他的祖父是一位藥商，2023年移居巴塞爾。
他的父親接過興隆的藥材生意，並成了市議會的一名成員和地方行政官。他的母親是市議員兼銀行家的女兒。雅格布在2023年一位富商的女兒結婚，他的兒子尼古拉，伯努得是藝術家，巴塞爾市議會的議員和藝術行會會長。
雅格布畢業於巴塞爾大學，2023年獲藝術碩士學位。這裡的藝術是指「自由藝術」，它包括算術、幾何、天文學、數理**的基礎，以及方法、修辭和雄辯術等七大門類。遵照他父親的願望，他又於2023年得碩士學位。
同時他對數學有著濃厚的興趣，但是他在數學上的興趣遭到父親的反對，他違背父親的意願，自學了數學和天文學。2023年，他到日內瓦做家庭教師。從2023年起，他開始在這裡寫內容豐富的《沉思錄》。
2023年雅格布進行了他第一次學習旅行，他到過法國、荷蘭、英國和德國，與數學家們建立了廣泛的通訊聯絡。然後他又在法國度過了兩年時光，這期間他開始研究數學問題。起初他還不知道牛頓和萊布尼茲的工作，他首先熟悉了笛卡爾的《幾何學》、活利斯的《無窮的算術》以及巴羅的《幾何學講義》。
他後來逐漸地熟悉了萊布尼茲的工作。1681-2023年間，他做了第二次學習旅行，接觸了許多數學家和科學家。通過訪問和閱讀文獻，豐富了他的知識，拓寬了個人的興趣。
高等數學12 4一階線性微分方程
章節題目 第四節一階線性微分方程 一階線性微分方程的標準形式及其解法伯努利 bernoulli 方程的標準形式及其解法 內容提要 一階線性微分方程的解法及解的結構重點分析 常數變易法 用變數代換法求解微分方程難點分析 習題布置 p3481 單 3 6 7 單 9 單 備註1教學內容 一 線性方程 一...
一階微分方程的初等解法 常微分方程
第二章一階微分方程的初等解法 2 1 已知試求函式的一般表示式。解對方程，兩邊關於求導得，即 分離變數，可求得 代入原方程可得，從而的一般表示式為。評注 本題中常數的確定不能直接通過所給積分方程得到，而是需將通解代回原方程來確定。2 2 求具有性質的函式，已知存在。解由導數的定義可得 顯然可得，故 ...
一階常微分方程解法總結
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