對於函式圖象的平移與伸縮問題，傳統的處理手法過於繁雜，記憶量大，難於掌握.本文試圖用代換的手法將其作一般性的**.
一、函式圖象的平移
事實上，設函式的圖象，向右平移個單位，得到的圖象的解析式是,
令點是的圖象上任一點，點向右平移個單位得點，則
點在的圖象上，且，有，
於是，把函式的圖象，向右平移個單位，得到的圖象的解析式是
（即以代換）.
我們定義：當時，表示向右平移；當時，表示向左平移.
例1 函式是偶函式，則函式的對稱軸是
abc， d，
分析：函式是偶函式，∴其對稱軸為，
以代換，有，
令，解得，
故函式的圖象向左平移個單位，得到函式的圖象，其對稱軸
也相應地向左平移了個單位，故選d.
例2 要得到函式的圖象，只需要將函式的圖象
a，向左平移個單位b，向右平移個單位
c，向左平移個單位d，向右平移個單位
解1：∵，
而在中，以代換，有.
令，解得.故選a.
解2：.
在中，以代換，有，
令，解得.故選a.
同樣地，把函式的圖象，向右平移個單位，再向上平移個單位，得到的圖象的解析式是（即以，分別代換，）.
同樣，我們定義：當時，表示向上平移；當時，表示向下平移.
例3 函式的圖象，經過怎樣的平移變換得到函式的圖象？
解：在中，以，分別代換，，有.
即，經對比，有，解得.
故把函式的圖象，向左平移個單位，再向上平移3個單位，便得函式
的圖象.
二、函式圖象的伸縮與平移
事實上，設把函式的圖象的橫座標伸長到原來的倍（縱座標不變），
得到的圖象的解析式是,
令點是的圖象上任一點，點的橫座標伸長到原來的倍，得
點，則點在的圖象上，且，有，
於是，設把函式的圖象的橫座標伸長到原來的倍（縱座標不變），
得到的圖象的解析式是（即以代換）.
我們定義：當時，表示伸長；當時，表示縮短.
例4 函式的圖象，經過怎樣的平移和伸縮變換得到函式的
圖象？ 解1：（先平移後伸縮）在中，以，分別代換，，
有，再以代換，有，即.
對比有，得.
即把函式的圖象向左平移個單位，再向上平移4個單位，後將橫座標縮短到原來的倍（縱座標不變），可得函式的圖象.
解2：（先伸縮後平移）在中，以代換，有，
再以，分別代換，，得，即
於是，得，∴.
即把函式的圖象橫座標縮短到原來的倍（縱座標不變），再向左平移個單位，後向上平移4個單位，可得函式的圖象.
把函式的圖象的橫座標與縱座標分別伸長到原來的倍，得到的圖象的解析式是（即分別以，代換）.
我們定義：當時，表示伸長；當時，表示縮短.
例5 已知函式，將的圖象向左平移1個單位，再將圖象上所有點的縱座標伸長到原來的2倍（橫座標不變），得到函式的圖象.
（）求的解析式及定義域；（）求的最大值.
解：（）依題意，在中，以（即）代換，得
，即，再以代換，得.
故得…….下略.
例6 函式的圖象，經過怎樣的變換得到函式的圖象？
解1：（先伸縮後平移）在中，分別以，代換，有
，再以代換，得，
即，令，得.
故把函式的圖象，橫座標伸長到原來的5倍（縱座標不變），再將縱座標縮短到原來的倍（橫座標不變），後向右平移個單位，即得函式的圖象.
說明：本題也可「先平移後伸縮」行變換，這個留給讀者完成.
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