第一章 §3
一、選擇題
1．終邊在第三象限的角平分線上的角α的集合為( )
a. b.
c. d.
[答案] b
[解析] 先在[0,2π)內找到第三象限角平分線所對應的角.再加上2π的整數倍，即：α＝2kπ＋，(k∈z)．∴選b.
2．下列各對角中終邊相同的是( )
a.和－＋2kπ(k∈z) b．－和
c．－和 d．－和
[答案] c
[解析] ∵－π＝－2π＋π，∴－π與π終邊相同．
3．下列轉化結果錯誤的是( )
a．67°30′化成弧度是 b．－化成度是－600°
c．－150°化成弧度是－ d.化成度是15°
[答案] c
[解析] 對a,67°30′＝67.5×＝，正確；
對於b600°，正確；
對c，－150°＝－150×＝－，錯誤；
對d，＝×()°＝15°，正確．
4．把－表示成θ＋2kπ(k∈z)的形式，使|θ|最小的θ的值是( )
ab．－
c. d．
[答案] a
[解析] ∵－＝－2π－，∴－與－是終邊相同的角，且此時|－|＝是最小的．
5．在半徑為2cm的圓中，若有一條弧長為cm，則它所對的圓心角為( )
ab.cd．[答案] a
[解析] 設圓心角為θ，則θ＝＝.
6．半徑為2cm，圓心角為的扇形面積為( )
a. cm2 b． cm2
c. cm2 d． cm2
[答案] c
[解析] 由於l＝r·α＝2×＝(cm)，
所以扇形的面積為：
s＝lr＝··2＝(cm2)，故選c.
二、填空題
7．(1)300°化為弧度是________；
(2)－化為度是________；
(3)終邊落在如圖的陰影部分(包括邊界)的角的集合是
[答案] (1) (2)－150°
(3)[解析] (1)(2)考查角度與弧度的互化.
(3)考查終邊相同角的寫法．
(1)300°＝300×＝.
(2)－π＝－×＝－150°.
(3)用集合表示時，不要漏掉k∈z.
8．若角θ的終邊與的終邊相同，則在[0,2π]內終邊與角的終邊相同的角是________．
[答案] 或或或
[解析] θ＝＋2kπ(k∈z)，
∴＝＋(k∈z)．
當k＝0時，＝；k＝1時，＝；
k＝2時，＝；k＝3時，＝.
三、解答題
9．(1)已知扇形oab的圓心角α為120°，半徑為6，求扇形弧長及所含弓形的面積．
(2)已知扇形周長為20 cm，當扇形的圓心角為多大時它有最大面積？
[解析] (1)弧長l＝αr＝π×6＝4π，
∵oa＝ob＝6，∴ab＝6，圓心到ab的距離為d＝3.
∴弓形面積s＝s扇形－s△abc＝×π×62－×6×3＝12π－9.
(2)設扇形圓心角為α，半徑為r，扇形面積為s，
則αr＋2r＝20.
∴α＝，∴s＝αr2＝10r－r2＝25－(r－5)2，
∴當r＝5cm時，s有最大值25 cm2，此時α＝2.
一、選擇題
1．已知集合p＝，則下列集合與集合p相等的是( )
a. b．
c. d.
[答案] d
[解析] α＝，k∈z由k＝0,1,2,3,4，……知，角的終邊在座標軸上．
而α＝kπ＋，k∈z表示角的終邊在y軸上；
α＝kπ，k∈z表示角的終邊在x軸上；
α＝2kπ＋，k∈z表示角的終邊在y軸正半軸上．
故選d.
2．已知集合a＝，b＝，則a∩b＝( )
a． b．
c． d．
[答案] d
[解析] [2kπ，(2k＋1)π]∩[－4,4]在k≥1或k≤－2時為空集，於是，a∩b＝．
二、填空題
3．扇形的周長是16，圓心角是2rad，則扇形的面積是________．
[答案] 16
[解析] 弧長l＝2r，∴16＝4r，∴r＝4，
∴s＝×2×4×4＝16.
4．圓的一段弧長等於該圓外切正三角形的邊長，則這段弧所對圓心角的弧度數是________．
[答案] 2
[解析] 設圓半徑為r，則圓的外切正三角形的邊長為2r，∴l＝2r，
∴圓心角θ＝＝＝2.
三、解答題
5．若角α的終邊與角的終邊關於直線y＝x對稱，且α∈(－4π，4π)，求α的值．
[解析] 設角的終邊為直線oa，oa關於直線y＝x對稱的直線為ob，則以ob為終邊的角的集合為.
∵α∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋<4π，
∴－∴α的值為－，－，，.
6．已知扇形的周長為6cm，面積為2cm2，求扇形圓心角的弧度數．
[解析] 設扇形的弧長為l，它所在圓的半徑為r，圓心角為α(0<α<2π)，由題意得
消去l得r2－3r＋2＝0，解得r＝1或r＝2.
當r＝1時，l＝4，α＝＝＝4；
當r＝2時，l＝2，α＝＝＝1.
故扇形的圓心角為1弧度或4弧度．
7．用30cm長的鐵絲圍成乙個扇形，應怎樣設計，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？
[解析] 解法一：設扇形的半徑為r，弧長為l，扇形的面積為s.則l＋2r＝30，即l＝30－2r
將①式代入s＝lr，得
s＝(30－2r)·r＝－r2＋15r＝－(r－)2＋.
所以當r＝cm時，扇形面積最大，且最大面積為cm2.此時圓心角θ＝＝2.
解法二：設扇形的半徑為r，圓心角為θ(0<θ<2π)，則弧長為r·θ.由題意，得2r＋r·θ＝30，即r＝.所以s＝θ·r2＝·＝.整理，得
sθ2＋(4s－450)·θ＋4s＝0
由s≠0及δ≥0知，－3600s＋202500≥0，
所以s≤，即扇形的最大面積為cm2，
將s＝代入②式，解得θ＝2，所以r＝cm.
答：當扇形的半徑為cm，圓心角為2弧度時，扇形面積最大，最大面積為cm2.
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