(時間60分鐘，滿分80分)
一、選擇題(共6個小題，每小題5分，滿分30分)
1．已知sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，則下列不等關係中必定成立的是( )
a．sinθ<0，cosθ>0b．sinθ>0，cosθ<0
c．sinθ>0，cosθ>0d．sinθ<0，cosθ<0
解析：sin(θ＋π)<0，∴－sinθ<0，sinθ>0.
∵cos(θ－π)>0，∴－cosθ>0.∴cosθ<0.
答案：b
2．已知a＝＋(k∈z)，則a的值構成的集合是( )
a．c．
解析：當k為偶數時，a＝＋＝2；
k為奇數時，a＝－＝－2.
答案：c
3．已知f(α)＝，則f(－π)的值為( )
ab．－
cd.解析：∵f(α)＝＝－cosα，
∴f(－π)＝－cos(－π)＝－cos(10π＋)
＝－cos＝－.
答案：c
4．已知tanθ＝2，則sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝( )
ab.cd.
解析：sin2θ＋sinθ·cosθ－2cos2θ
＝＝，又tanθ＝2，故原式＝＝.
答案：d
5．已知sinx＝2cosx，則sin2x＋1＝( )
ab.cd.
解析：∵sinx＝2cosx，∴tanx＝2，
sin2x＋1＝2sin2x＋cos2x＝＝.
答案：b
6．已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx－β)，其中α、β、a、b均為非零實數，若f(2010)＝－1，則f(2011)等於( )
a．－1b．0
c．1d．2
解析：由誘導公式知f(2010)＝asinα＋bcosβ＝－1，
∴f(2011)＝asin(π＋α)＋bcos(π－β)
＝－(asinα＋bcosβ)＝1.
答案：c
二、填空題(共3小題，每小題5分，滿分15分)
7．若＝2，則sin(θ－5π)sin
解析：由＝2，得sinθ＋cosθ＝2(sinθ－cosθ)，
兩邊平方得：1＋2sinθcosθ＝4(1－2sinθcosθ)，
故sinθcosθ＝，
∴sin(θ－5π)sin(－θ)＝sinθcosθ＝.
答案：8
解析：＝
＝＝1.
答案：1
9．已知α∈(，)，tan(α－7π)＝－，則sinα＋cosα的值為________．
解析：tan(α－7π)＝tansinα＝，cosα＝－，∴sinα＋cosα＝－.
答案：－
三、解答題(共3小題，滿分35分)
10．已知sin(π－α)·cos(－8π－α)＝，且α∈(，)，試求sinα和cosα的值．
解：由sin(π－α)·cos(－8π－α)＝
得sinα·cosα＝，
∴(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝1＋＝.
(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－＝.
又α∈(，)，∴sinα＋cosα＝，sinα－cosα＝，
∴sinα＝，cosα＝.
11．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，
求.解：原式＝＝－＝－tan2α.
解方程5x2－7x－6＝0得
sinα＝－或sinα＝2(捨去)，
又tan2α＝＝＝，
∴原式＝－.
12．(2010·寧波模擬)已知函式f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的導函式．
(1)求函式f(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的值域和最小正週期；
(2)若f(x)＝2f′(x)，求的值．
解：(1)∵f′(x)＝cosx－sinx，
∴f(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)
＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx
＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋sin(2x＋)，
函式f(x)的值域為[1－，1＋]，
最小正週期為t＝＝π.
(2)∵f(x)＝2f′(x)sinx＋cosx＝2cosx－2sinx，
∴cosx＝3sinxtanx＝，
∴＝＝＝＝.
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